Некоторые признаки делимости. Формирование признаков делимости вызывает затруднение при первой встрече с подобной задачей. Участие в олимпиадах по математике приводит к интересу, а как они формируются. Механизм формирования гораздо важнее результата. Именно понимание приводит не механическому запоминанию, а к осознанию механизма вывода признаков, что имеет гораздо более важное значение в развитии любой личности. Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170- 1228г.г.).Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами и др. Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для
нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году. Знать признаки делимости, конечно же, совсем не обязательно. Но если знаешь и умеешь этим пользоваться - это хорошо. Признаки делимости дают только ответ на вопрос: делится ли нацело число на делимое или нет. Причем, это можно посчитать очень быстро, не производя деления. Признаки делимости на то или иное число облегчают анализ того или иного числа на предмет того , что оно представляет собой , что необходимо для исследования чисел. Вот , например , дано длинно- разрядное число 13759761 и предлагают определить - делится ли это число ,допустим , на 3 , не производя само деление , как это делается обычно. И вот признак делимости на 3 , один из самых часто употребляемых , позволяет без особого труда определить решение этого вопроса.Ну и для этого , как известно суммируют все разряды числа , и смотрят делимость на 3 этой суммы.Для числа 13759761 сумма разрядов этого числа равна 1+3+7+5+9+7+6+1=39 ,и это число делится на 3 , значит ,и исходное число длится на 3.Также решаются проблемы с с признаками деления на другие числа. Как знание этих признаков пригодится в жизни - это вопрос, так как очень много специфичных вопросов математики не сразу на практике прикладывается, но для исследований очень нужный признак. Был в практике такой случай. При покупке трёх одинаковых набора подарков Поскольку все три набора были абсолютно одинаковы, скидок и т.п. никаких не было, то и сумма должна быть делимой на три.
Продавщица долго что-то там на калькуляторе считала, в итоге выдает сумму для оплаты. Я ей говорю, что она ошиблась, прошу пересчитать. Она м в ответ с удивлением - а как Вы так быстро посчитали без калькулятора? Я отвечаю, что сумма, которую она назвала не делится на три, значит в расчетах есть ошибка. Она толком так и не поняла, но пересчитала и выдала уже правильную сумму. Формирование признаков делимости вызывает затруднение при первой встрече с подобной задачей. Участие в олимпиадах по математике приводит к интересу, а как они формируются. Механизм формирования гораздо важнее результата. Именно понимание приводит не механическому запоминанию, а к осознанию механизма вывода признаков, что имеет гораздо более важное значение.в развитии любой личности. В школьной программе рассматриваются признаки делимости на 2, на3, на 5 и на 9 .Но этих признаков гораздо больше. Приведу некоторые из них. Признак делимости на 4 Число делится на 4 ,если две последние цифры нули или образуют число делящиеся на 4 Признак делимости на6 Число делится на 6 ,если оно делится на 2 и на3. Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 343 делится на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7; 259 делится на 7, так как 25-(2·9)=7 делится на 7). Признаки делимости на 8.
Число делится на 8, если три последние его цифры – нули или образуют число, делящееся на 8. Например: 1872→872:8=109, 1872:8=234 4368→368:8=46, 4368:8=546 8155→155 не делится на 8, 8155 не делится на 8 Признак делимости на 11 Число делится на 11 тогда, когда сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11 (например, 14641 делится на 11, так как 1+6+1=4+4) Признак делимости на 12 Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4. Признак делимости на 13 Число делится на 13 тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 104 делится на 13, так как 10+(4·4)=10+16=26 делится на 13; 832 делится на 13, так как 83+(4·2)=83+8=91 делится на 13). Признак делимости на 14 Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7. Признак делимости на 15. Число делится на 15,если оно оканчивается на 0 или 5,а сумма цифр делится на 3. Признак делимости на 16
Число делится на 16,если четыре последние цифры нули или образуют число делящееся на16. Признак делимости на 17 Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 Признак делимости на18 Число делиться на 18 ,если оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на9. Признак делимости на 19 Число делится на 19, если данное число представим в виде суммы и первое слагаемое – число единиц увеличить в два раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами. Признак делимости на20. Число делится на 20.если оно оканчивается нулём и предпоследняя цифра чётная. Признак делимости на23 Число делится на 23,если число его сотен сложенное с утроенным числом единиц делится на23. Признак делимости на 25 . Число делится на 25 ,если оно заканчивается на 00 ,на25, на 50,на 75. Признак делимости на 29. Число делится на 29, если данное число представим в виде суммы и первое слагаемое – число единиц увеличить в три раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами. Признаки делимости на 36 Число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9.
Признак делимости на 39 Число делится на 39, если данное число представим в виде суммы и первое слагаемое – число единиц увеличить в четыре раза, а второе слагаемое – число, стоящее перед единицами. Например: 156делится на39 т,к, 6*4+15=39 Все рассмотренные признаки делимости можно разделить на 4 группы. 1.Делимость определяется по последним цифрам. 2.Делимость определяется по сумме цифр числа. 3.Делимость определяется после выполнения некоторых действий над цифрами этого числа. 4.Для определения делимости числа используютс