Творческие самостоятельные работы при изучении темы

«Квадратные уравнения».
Носкова Н.М.,учитель высшей категории. В толковом словаре великорусского языка Владимира Даля можно прочитать: «Творить что, давать бытие, сотворять, созидать, создавать. Творить умом, созидать научно или художественно». Соответственно и творческая познавательная деятельность учащихся есть самостоятельный поиск и создание или конструирование какого-то нового продукта (в индивидуальном опыте ученика – нового, неизвестного для него научного знания или метода, но известного, как правило, в общественном опыте). А одним из средств организации такой деятельности являются творческие самостоятельные работы. Важным элементом математического воспитания следует признать воспитание творческой активности учащихся. Творческая деятельность учащихся не ограничивается приобретением нового, она включает и создание нового. Работа будет творческой, если в ней проявляется собственный замысел учащихся, ставятся новые задачи и самостоятельно решаются при помощи вновь добываемых знаний. Учащиеся усваивают новые знания, если им понятна цель овладения ими, связь нового для них материала с уже известным. Тогда проявляется стремление сформулировать новое положение, самостоятельно найти способы его доказательства, его применение к решению задач. Помочь учащимся в этом можно различными путями. И один из них – правильно организованная самостоятельная работа. Можно выделить 4 уровня самостоятельности: воспроизводящая самостоятельность; вариативная самостоятельность; частично поисковая самостоятельность; творческая самостоятельность. Очевидно, что речь пойдёт о 4 уровне – творческой самостоятельности, когда школьник, зная некоторые факты, включается в поисковую деятельность, то есть, опираясь на известные многочисленные факты, делает выводы, приобретая таким образом новые знания, умения применять их в усложнённой ситуации. Рассмотрим, как можно применить творческую самостоятельную работу при изучении темы «Квадратные уравнения». Традиционно обучение теме «Квадратные уравнения» сводится к решению квадратных уравнений по формулам корней, а также с помощью теоремы Виета и обратной ей теоремы. Причём при решении квадратных уравнений учащиеся чаще всего
пользуются именно формулами корней, реже – формулами корней для чётного коэффициента при переменной x и уже совсем не хотят использовать для нахождения корней квадратного уравнения теорему Виета и обратную ей. Но существуют и другие способы решения квадратных уравнений, которые в большинстве случаев остаются учащимся неизвестными, так как не предусмотрены программой. Они основаны на знании свойств квадратных уравнений, устанавливающих зависимость между их коэффициентами, свободным членом и корнями. Использование этих свойств позволяет находить корни квадратных уравнений с любыми коэффициентами, не обращаясь к формулам корней и значительно сократить затраты времени на решение квадратных уравнений. При этом сэкономленное время можно использовать на поиск решения более сложных задач. Рассмотренные ниже проблемные задания направлены как на выявление и формулирование этих свойств, так и на их применение. Задание 1. Установите общий вид квадратных уравнений, исследовав взаимоотношения между коэффициентами и свободным членом в каждом из уравнений, а затем сделайте вывод о том, каковы их корни: x 2 + 2х + 1 = 0, х 2 − 2х + 1 = 0, 2х 2 + 5х + 2 = 0, 2х 2 − 5х + 2 = 0, 3х 2 + 10х + 3 = 0, 3х 2 − 10х + 3 = 0, 4х 2 + 17х + 4 = 0, 4х 2 − 17х + 4 = 0, 5х 2 + 26х + 5 = 0, 5х 2 − 26х + 5 = 0. Задание 2 . Известно, что корнями уравнений 8х 2 − 65х + 8 = 0, −15х 2 − 226х − 15 = 0, 31х 2 −962х + 31 = 0, 300х 2 − 90001х + 300 = 0, −87х 2 − 7570х − 87 = 0 являются положительные взаимно обратные числа, а корни уравнений 8х 2 + 65х + 8 = 0, −15х 2 + 226х − 15 = 0, 31х 2 + 962х + 31 = 0, 300х 2 + 90001х + 300 = 0, −87х 2 + 7570х − 87 = 0 им противоположны. Найдите корни всех уравнений и установите их связь с коэффициентами и свободным членом. ми и свободным членом. Задание 3. Известно, что при умножении суммы корней квадратного уравнения 25х 2 ─ 626х + 25 = 0 на их произведение получено число 25 626 . Найдите эти корни. Задание 4. Дано квадратное уравнение 42х 2 + bx + c = 0, один из корней которого равен старшему коэффициенту и свободному члену, взятому с противоположным знаком. Найдите второй корень, неизвестный коэффициент и свободный член. Выразите их через старший коэффициент.
Задание 5. Известно, что в квадратном уравнении один из коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает со значением одного из корней х 1 = 122. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень. Задание 6. Известно, что в квадратном уравнении оба коэффициента и свободный член имеют одинаковые знаки, причем один из его коэффициентов равен свободному члену и их значение совпадает с абсолютным значением одного из корней х 1 = −35. Другой коэффициент равен квадрату этого числа, увеличенному на единицу. Запишите квадратное уравнение и найдите второй корень. Задание 7. Заполните пропуски в таблице 1 и сделайте выводы. Таблица 1. Уравнения Корни уравнений (…)х 2 + 145х + 12 = 0 х 1 = −12, х 2 = − ... 1 −131х 2 + 17162х − (… ) = 0 х 1 = …, х 2 = 131 1 (…)х 2 − (73 2 + …)х … (…) = 0 х 1 = 73, х 2 = 73 1 −97х 2 − (…)х − 97 = 0 х 1 = −97, х 2 = … 349х 2 − (… + 1)х + (…) = 0 х 1 = …, х 2 = 349 ... (…)х 2 … (…)х + (…) = 0 х 1 = −560, х 2 = − 560 1 Выполняя задания 1-7, учащиеся должны установить правило: Если в квадратном уравнении ax 2  (а 2 +1)х+а=0 второй коэффициент отрицательный, то корнями уравнения являются числа а , а 1 . Если второй коэффициент положительный, то корнями уравнения являются числа − а , − а 1 . Задание 8. В квадратном уравнении второй коэффициент является суммой квадратов чисел 6 и 7. Один из корней равен отношению этих чисел, взятому с противопо- ложным знаком, а второй корень является обратным ему числом. Выразите старший коэффициент и свободный член через эти числа. Задание 9. Корни квадратного уравнения представляют собой несократимые дроби, числители и знаменатели которых являются делителями числа 72. Сумма корней равна числу − 72 17 . Найдите эти корни и запишите соответствующее квадратное уравнение.
Выразите его коэффициенты и свободный член через значения числителей и знаменателей дробей, являющихся корнями уравнения. Задание 10. Даны два числа − 29 17 и 17 29 . Определите, корнями каких из приведен- ных уравнений они являются, и найдите для них недостающие корни: 493х 2 + 1130х + 493 = 0, −493х 2 − 1130х + 493 = 0, 493х 2 − 1130х − 493 = 0, 493х 2 − 552х − 493 = 0, 493х 2 + 552х − 493 = 0, 493х 2 − 552х + 493 = 0. Установите связь между корнями уравнений и их коэффициентами и свободным членом. Задание 11. Даны уравнения (таблица 2). Таблица 2. 1 2 3 2х 2 + 5х + 2 = 0, −6х 2 + 13х − 6 = 0. 6х 2 + 13х + 6 = 0, 6х 2 + 37х + 6 = 0, 7х 2 + 16 305 х + 7 = 0, 2х 2 + 9 85 х + 2 = 0, 3х 2 + 10х + 3 = 0. −4х 2 + 17х − 4 = 0, −5х 2 + 26х − 5 = 0, 5х 2 + 9 106 х + 5 = 0. 2х 2 − 3х − 2 = 0, −6х 2 − 5х + 6 = 0, 6х 2 − 35х − 6 = 0, 7х 2 + 16 207 х − 7 = 0, −2х 2 + 9 77 х + 2 = 0, 3х 2 − 8х − 3 = 0, −4х 2 − 15х + 4 = 0, −5х 2 − 24х + 5 = 0, 5х 2 − 9 56 х − 5 = 0, 5х 2 + 196 2001 х − 5 = 0. 2х 2 + 3х − 2 = 0, −6х 2 + 5х + 6 = 0, 6х 2 + 35х − 6 = 0, 7х 2 − 16 207 х − 7 = 0, −2х 2 − 9 77 х + 2 = 0, 3х 2 + 8х − 3 = 0, −5х 2 + 24х + 5 = 0, 5х 2 + 9 56 х − 5 = 0, 5х 2 − 196 2001 х − 5 = 0. Исследуйте взаимосвязь между коэффициентами и свободным членом квадратных уравнений в каждом столбце. Установите общий вид квадратных уравнений. Допишите в каждом столбце по 5 уравнений соответствующего вида и решите их. Сделайте вывод. Решая задачи 8-11, учащиеся выявляют новое свойство квадратных уравнений: Если в квадратном уравнении ах 2 +b х +c = 0, а  0, а = с = m∙n, b = m 2 +n 2 , m,n  R , то х 1 = − m n , x 2 = − n m . Если в квадратном уравнении ах 2 +b х +c = 0, а  0, а = − с = m∙n, b = m 2 − n 2 , m,n  R , то х 1 = m n , x 2 = − n m . Задание 12. Даны квадратные уравнения:
0 52 5 47 2     х х , 0 24 41 17 2    х х , , 0 9 7 45 11 15 8 2     х х , 0 35 29 5 3 7 10 2    х х , 0 73 , 5 3 73 , 8 2    х х , 0 18 325 18 2     х х , 0 18 77 18 2    х х , 0 15 8 225 244 15 8 2     х х , 0 52 39 13 2    х х , 0 45 , 2 0025 , 7 45 , 2 2    х х , 0 91 39 52 2    х х , 0 7 10 49 1229 7 10 2    х х , 0 110 157 11 8 10 7 2     х х , 0 1 , 3 61 , 8 1 , 3 2    х х , 0 19 362 19 2    х х , 0 13 6 169 205 13 6 2     х х , 0 101 10202 101 2    х х , 0 7 , 1 8 , 2 5 , 4 2     х х , 0 23 38 15 2     х х . 0 28 192 28 2     х х 0 126 , 0 376 , 0 25 , 0 2    х х . Исследовав значения коэффициентов и свободных членов квадратных уравнений, разделите их на группы. Для каждой группы установите общий вид. Сделайте вывод о корнях уравнений и их связи с коэффициентами и свободным членом. Выполнение последнего задания позволяет учащимся установить четыре свойства квадратных уравнений, использование которых даёт возможность быстро находить корни уравнений, не обращаясь к формулам корней: 1. Если в квадратном уравнении 0 2    c bx ах , 0  а , 0    c b а , то , 1 1  х . 2 а с х  2. Если в квадратном уравнении 0 2    c bx ах , 0  а , 0    c b а , то , 1 1   х . 2 а с х   3. Если в квадратном уравнении ax 2  (а 2 +1)х+а=0 второй коэффициент отрицательный, то корнями уравнения являются числа а , а 1 . Если второй коэффициент положительный, то корнями уравнения являются числа − а , − а 1 . 4. Если в квадратном уравнении ах 2 +b х +c = 0, а  0, а = с = m∙n, b = m 2 +n 2 , m,n  R , то х 1 = − m n , x 2 = − n m .
Если в квадратном уравнении ах 2 +b х +c = 0, а  0, а = − с = m∙n, b = m 2 − n 2 , m,n  R , то х 1 = m n , x 2 = − n m . Организация уроков алгебры посредством использования творческих самостоя- тельных работ способствует развитию активности и самостоятельности учащихся, так как центральным звеном всей учебной деятельности является поисково-познавательная деятельность. В заключение хочется привести слова Николая Гавриловича Чернышевского: «Если наши дети хотят быть людьми, в самом деле образованными, они должны приобретать образование самостоятельными занятиями».