Решение задач с параметрами в курсе алгебры 7 класс

Учитель математики Комлева Татьяна Николаевна

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические

рекомендации)
Анализируя экзаменационные работы по математике, приходишь к выводу, что за курс математики в общеобразовательной школе учащимися должны быть отработаны умения решения задач с параметрами. Кроме непосредственной подготовки учащихся к экзаменам по данному разделу математики (решение задач с параметрами),главная его задача - поднять на более высокий уровень изучение математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения определенного набора стандартных задач. Ибо, решение задач с параметрами требует наличия определенного уровня математической культуры, навыков обобщения и разделения задачи на элементарные, аргументирования и обоснования своих действий, рассуждения на отвлеченном уровне, т.е. навыков проведения логических операций. Знакомить учащихся с заданиями с параметрами следует, начиная с 7 класса, постепенно включая их в список задач к общему курсу.  В 7 классе представляется возможным вводить решение линейных уравнений с параметрами и простейших систем линейных уравнений с параметрами. Для решения задач с параметрами требуется: а) свободное владение навыками решения уравнений; б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях; в) умение построить логическую цепочку рассуждений.
Примеры:
ру – р – 1 = 0; х – 2х = а 3 – 2а 2 – 9а + 18; 3х 2 – 10ах + 3а 2 = 0.
Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла: 1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению. 2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а. 3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а. Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел. Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить
семейство
уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.
2. Примеры решения уравнения с параметром.
Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят
качественные
изменения уравнения. Такие значения параметра называются
контрольными
.
3. Алгоритм решения уравнения с параметром:
1-й ш а г. Находим область изменения параметра.
2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения. 3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества. 4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра. 5-й ш а г. Записываем ответ.
4. Решение уравнений с параметром
 Что дают задачи с параметрами: а) отработку навыков решения уравнений; б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление; в) формируют навыки исследовательской деятельности; г) повышают интерес к математике.
Пример №1.
Решить уравнение относительно х: х+2=а+7. Решение: х=а+5. Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.
Пример №2
. Решите уравнение (a 2 – 9) x = a + 3. Решение. Запишем данное уравнение в виде (a + 3)(a – 3)x = a + 3 и рассмотрим три случая. 1) a = 3. Тогда получаем уравнение 0x = 6, которое не имеет корней. 2) a = –3.
В этом случае получаем уравнение 0x = 0, корнем которого является любое число. 3) a  3 и a  –3. Тогда x = a + 3 ( a + 3 )( a − 3 ) = 1 a − 3 . Ответ: если a = 3, то уравнение не имеет корней; если a = –3, то корнем является любое число; если a  3 и a  –3, то x = 1 a − 3 .
Пример №3 .
Решить уравнение: а) ах=1. Решение. На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: Однако при а=0 данное уравнение решений не имеет и верный ответ записывается так: если, а=0, то нет решений; если а≠0, то б) ах=а. Решение. При а=0 , то 0х=0; если а≠0, то х=1. в) (a – 6)x = a 2 – 12a + 36. Решение. При а=6, 0х=0, х любое число, если, а ≠ 6, х = а - 6 г) (a 2 – 4)x = a – 2. Решение. При а ≠ ±2, то х = ( а − 2 ) а 2 − 4 , если а = 2, то 0х = 0, х - любое число; если а = -2, то 0*х = -4 корней нет.

Пример №4
Для каждого значения a решите уравнение: 1) (a + 3)x = 3; Решение. При а + 3 ≠0, а ≠ -3, то х = 3 а + 3 , Если а + 3 = 0, то а = -3, 0*х = 3, корней нет. 2) (a 2 – 9a)x = a 2 – 18a + 81. Решение. При а*(а -9) ≠0, а ≠ 0, 9; то х = а − 9 а , если а = 0, то 0*х = 81, корней нет; а = 9, 0*х = 0, то х любое число.
Пример №5
Для каждого значения a решите уравнение: 1) x − 1 x − a = 0 ; Решение. При а ≠1, х = 1; если, а =1, то х − 1 х − 1 = 0, но числитель может равняться нулю, знаменатель – нет. 2) x − a x + 5 = 0 ; Решение. х – а = 0; при х + 5≠ 0 а ≠-5, х = а; если, а =-5, то корней нет. а) х ≠3, а =х;
б) а = 0; бесконечное множество корней, кроме 3; в) а = 3, корней нет. 4) ( x − a ) ( x − 6 ) x − 7 = 0 Решение. а) а = 0, х = 6, х = 0; б) а = 7, х = 6; 5) ( x − 4 )( x + 2 ) x − a = 0 Решение. а) х ≠а, х =4, х = -2; б) а = 0, х = 4, х = -2; в) а = 4, х = -2; г) а = -2, х = 4. 6) x − a ( x − 4 )( x + 2 ) = 0 Решение а) а ≠ 4, а ≠ -2, х =а; б) а = 4, а = -2, корней нет.
5. Вывод.
Уравнения вида k ( a ) x − b ( a )= 0 , где k(a) и b(a)- выражения, зависящие только от параметра, а x - неизвестное, называют линейным относительно x .
Оно приводится к виду k(a)х =b(a), и: при k ( a )≠ 0 имеет единственное решение x = b ( a ) k ( a ) ; при k ( a )= 0 и b ( a )= 0 имеет бесконечное множество решений, а именно, x ∈(−∞ ; ∞ ) ; при b ( a )≠ 0 и k ( a )= 0 корней нет Таким образом любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах = В, где А и В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и исследуется по схеме:

Литература.
1. Д.К. Фадеев и др. "Задачи по алгебре для 6-8 классов", М., Просвещение, 1988 2. В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту", МЦНМО, ТЕИС, 1996 3. С.А.Шестаков, Е.В.Юрченко "Уравнения с параметрами", СЛОГ, 1993 4. Г.Я. Ястребинецкий "Задачи с параметрами", М., Просвещение, 1986 5. В.В. Вавилов и др. "Задачи по математике. Алгебра", М., Наука, 1987 6. Н.Я. Виленкин и др." Алгебра 8", М., Просвещение, 1995 7. Л.И. Звавич др. "Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе", М., Просвещение, 1994 8. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров "Уравнения и неравенства с параметрами", Чебоксары, Издательство Чувашского университета,2000 9. А.Х. Шахмейстер "Уравнения и неравенства с параметрами",С.-Петербург, Москва, 2006