Задачи с параметрами.
Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках таких задач недостаточно. Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность как в логическом так и в техническом планах, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с параметрами, школьники успешно справятся и с олимпиадными задачами. Данный материал может быть использован как на уроках, так и на дополнительных занятиях, а так же в ходе самостоятельной работы учащихся 7-8 классов. «
Параметр
в математике – величина, числовое значение которой позволяет выделить определенный элемент из множества элементов того же рода» (Энциклопедический словарь).
Задачи с параметрами
– это уравнения и неравенства, в которых кроме неизвестных присутствует еще переменная величина – параметр. Параметр может принимать различные значения, в зависимости от которых уравнения и неравенства принимают тот или иной вид. При решении таких задач, как правило, требуется найти множество значений параметра, удовлетворяющих поставленному в задаче условию.
Уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством) с

параметром a

и

переменной x,

если

ставится

задача

для

каждого

действительного

числа a

решить

это

уравнение

(неравенство)

относительно x.

Решить уравнение (неравенство) с параметром а – это значит для

каждого

действительного

значения

а

найти

значение

х ,

удовлетворяющее этому уравнению (неравенству), или установить, что

таких решений нет.

Значения параметра а, при которых уравнение f(x;а) =0 (неравенство f(x;а) >0 или

f(x;а)<0 ) качественно изменяется (меняет вид записи или изменяет количество корней) называются контрольными значениями. Задачи, сводящиеся решению уравнений (неравенств) с параметрами, могут быть сформулированы по-разному. Самые распространенные формулировки: - решить уравнение (неравенство) при всех а; - установить количество корней (решений неравенства) в зависимости от а; - при каких значениях параметра a корни уравнение (решения неравенства) удовлетворяют заданным условиям. Задачи с параметрами могут быть классифицированы: - по виду математического выражения (линейные, квадратные…) - по количеству параметров; - по количеству неизвестных. Задачи с параметрами могут решаться разными методами: - аналитический; - графический; - формальный; - методом интервалов; - оценок; - преобразований; - перехода от уравнений к системам и т.д.

Линейные уравнения и неравенства с параметром.
Пример 1. Для каждого значения параметра а найти решение уравнения ах=5. Решение Если а=0, то уравнение 0х=5 решений не имеет. Если а≠0, то х= 5 а - решение уравнения. Ответ: при а≠0 х= 5 а ; при а=0 решений нет. Пример 2. Для каждого значения параметра а найти решение уравнения 7х=2а. Решение: При любом а х= 2 7 а. Пример 3. Для каждого значения параметра а найти решение уравнения ах= 1 2 . Решение При а=0 (контрольное значение параметра) 0= 1 2 х ϵ Ø. Пример 4. Решить неравенство ах +1>0. Решение Если а=0, решением неравенства 0х>-1 будет любое число. При а>0 х>- 1 а При а<0 х<- 1 а .
Пример 5. Решить уравнение:( а 2 -4)х=(а+2)(а-3). Решение: При а=-2 в уравнении 0х=0 х – любое число. При а= 2 уравнение 0х=-4 решение нет. При а≠±2 х= а − 3 а − 2 . Ответ: При а=-2 х – любое число. При а= 2 решений нет. При а≠±2 х= а − 3 а − 2 . Пример 6. Решить неравенство а-а 2 х<-2. Решение: а-а 2 х<-2<=>а 2 х>а+2. При а=0 неравенство 0х>2 решений не имеет. Если а≠0, то х> а + 2 а2 . Ответ: при а=0 решений нет. При а≠0, то х> а + 2 а2 . Пример 7. Решить уравнение (а+а 2 )х=а 2 +5а+4. (1) Решение: Данное уравнение равносильно уравнению а(а+1)х=(а+1)(а+4).
Найдем контрольные значения параметра а: а=0, а=-1. Пусть а=0, тогда уравнение (1) имеет вид 0х=4. Корней оно не имеет. Пусть а=-1, тогда уравнение (1) 0х=0. Корнями являются любые действительные числа. Пусть а≠0, а≠-1, тогда х= а + 4 а . Ответ: Если а =-1, то хϵR; Если а≠0, а≠-1, то х= а + 4 а .
Задачи для самостоятельного решения:
1. а(а-5)=а-5; 2. в х − 1 =1; 3. 2 ( а + 1 ) х а =3(х+1)+ 7 а ; 4. а 2а − х =3; 5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше a, а другой меньше а. (а 2 -2)х 2 +(а 2 +а-1)х-а 3 +а=0