МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 г.СЕРДОБСКА

Конспект урока по теме:

«Решение тригонометрических

уравнений»

10 клас

Выполнила: учитель математики

высшей категории

Горшенина Е.А.

Г. Сердобск

2016 г.

Ц

е

л

и урока:
научить решать некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные) относительно одной из тригонометр и ческих функций, однородные уравнения первой и второй степени относительно sin х и cos х; развивать
культуру мысли; воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.
Оборудование:
мультимедийное устройство, экран.
ХОД УРОКА

1. Организационный момент
.
2. Повторение изученного материала. Устный счет с помощью мультимедийного

устройства
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2 Установите соответствие: 1. 2sin х = 1; 1. + П/8 + Пn; n € Ζ. 2. √2 sin х =1; 2. (-1) n П/12 + Пn/3; n € Ζ. 3 . – 2cos х = 1; 3. + П/9 + 2Пn/3; n € Ζ. 4. - 2sin х = 1; 4. (-1) n П/12 + Пn/2; n € Ζ. 5. - 2cos х = 2; 5.(-1) n П/6 + Пn; n € Ζ. б. sin (2 П - х) = 0 ; 6.(-1) n П/4 + Пn; n € Ζ. 7. сов (2 П - х) = 1; 7. + 2/3П + 2Пn; n € Ζ. 8. tg (4П - х) = - 1; 8. (-1) n+1 П/6 + Пn; n € Ζ. 9. cos 2х = √2/2 ; 9. + 3/4П + 2Пn; n € Ζ. 10. sin 3 х = √2/2
;
10.Пn;

n € Ζ. 11. cos 3 х = - ½; 11. 2Пn; n € Ζ. 12. sin 2х = ½; 12. П/4 + Пn; n € Ζ.
3. Изучение нового материала
Методические рекомендации. Учащиеся изучают три вида тригонометрических уравнений. Уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой- либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему. Если в уравнение входят тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбирать эту функцию так, чтобы получилось квадратное относительно нее уравнение. Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение, переходим к решению одного из простейших тригонометрических уравнений. Решение уравнений, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной. Однородные уравнения первой и второй степени относительно синуса и косинуса или сводимые к ним решаются особым способом, рассмотренном в учебном пособии. Часто однородные уравнения в начальном виде не очевидны, но могут быть преобразованы в явно однородные. Например, уравнение вида
sin 2х + sin

2

х

=

0
является однородным, если sin 2х заменить по формуле двойного аргумента, то есть привести уравнение к виду
2 sin х ×cos х + sin

2

х

=

0

.
Здесь отсутствует член, содержащий сов 2 х. Поэтому, чтобы степень уравнения не понизилась, делим все на cos 2 х ≠ 0; уравнение tg 2 х + 2 tg х = 0 - это неполное квадратное уравнение относительно tg х. Решаем его, разложив левую часть на множители:

tg

х ×

(

tg

х +

2)

=

0.
Отсюда tg х = 0или tg х= - 2, то есть
х

=

Пn или х = - агсtg 2+ Пn, n € Ζ.
Можно данное уравнение решать, не переходя к тангенсу, а сразу разложить на множители, как это сделано в учебном пособии. Уравнение
3 sin

2

х -

4 sin х cos х + 5сов

2

х

=

2
тоже приводится к однородному, если правую часть умножить на выражение sin 2 х + cos 2 х, равное 1. Это уравнение в результате приводится к виду
sin

2

х - 4sin х cos х + 3cos

2

х

=

0.
Уравнение вида
a sin х + b cos х

=

с,
где а и b не равны нулю одновременно, может быть сведено к однородному, если sin х и cos х заменить по формуле двойного аргумента, а правую часть умножить на sin 2 х/2
+
cos 2 х/2. Получаем:
2а sin х/2 cos х/2 + b (cos

2

х/2 – sin

2

х/2)

=

с (cos

2

х/2 + sin

2

х/2)
то есть
(с + b) sin

2

х/2

-

2а sin х/2 cos х/2

-

(b -

с) cos

2

х/2

=

0.


Далее ‚равнение решается как обычное однородное уравнение второй степени. Рассмотрим основные виды тригонометрических уравнений и способы решений. Во время объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не записывают в тетрадях. Весь класс смотрит на доску и мысленно прорабатывает каждый этап решения. После окончания решения упражнения на доске, каждый ученик должен воспроизвести это решение в тетради по памяти.
Пример 1
. Решите уравнение 8cos 2 х
+
6 sin х
-
З = 0 . Решение. Заменяя cos 2 х через 1
-
sin 2 х, получаем 8(1
-
sin 2 х)
+
6 sin х
-
3 = 0, 8 sin 2 х
-
6 sin х
-
5 = 0 . Пусть sin х = t.Тогда 8t 2
-
6t
-
5 = 0, t 1 = 5/4 или t 2 = - ½. а) Уравнение sin х = 5/4корней не имеет, так как sin х не может быть больше единицы. б) sin х = - ½, х = (-1) k arcsin (-1/2) + Пk, k € Ζ, х = (-1) k+1 arcsin 1/2 + Пk, k € Ζ, х = (-1) k+1 П/6 + Пk, k € Ζ. Ответ: х = (-1) k+1 П/6 + Пk, k € Ζ., Примечание. Ответ можно записать по-другому: - П/6 + 2Пn, n € Ζ (если k = 2n – четное число), П/6 + П( 2n+1) (если k = 2n+1 – нечетное число).
Пример 2.
При каких значениях х принимают равные значения функции у =1 + cos х и у = - cos 2х? Решение, для нахождения значений х решим тригонометрическое уравнение
1+cos х = - cos2х. Так как cos 2х = 2 cos 2 х
-
1, то имеем 1 + cos х = - (2сов 2 х - 1), 2cos 2 х + cos х = 0. Получено неполное квадратное уравнение относительно cos х, которое решается вынесением множителя за скобки:

cos х (2 cos х + 1) = 0, отсюда cos х = 0, х = П/2 + Пn, n € Ζ; 2cos х
+
1 = 0, 2cos х =
-
1, cos х = - 1/2, х = ± arcos (-1/2) + 2Пn, n € Ζ, х = ± 2/3П + 2Пn, n € Ζ. Ответ: функции у = 1 + cos х и у = cos 2х принимают равны значения, если х = П/2+ Пn, или х = ±2/3П
+
2Пk, где k € Ζ.
4. Однородные тригонометрические уравнения

а sin х + b cos х = 0
- однородное уравнение первой степени относительно sin х и cos х ≠ 0. В результате получается уравнение вида
а tg х+b=0.
Уравнение
а sin

2

х + b sin х cos х + с cos

2

х = 0 (*)
называется однородным уравнением второй степени относительно sin х и cos х. Если а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на cos 2 х ≠ 0. Получаем уравнение
а tg

2

х+b tg х + с =0.
Если а = 0, то уравнение (*) принимает вид
b sin х cos х + с cos

2

х = 0
и решается разложением на множители левой части:
cos х (b sin х + с cos х)

=

0.

Пример 1
. Решите уравнение 3sin 2 х
+
sin х cos х = 2 cos 2 х. Решение. 3sin 2 х
+
sin х cos х - 2 cos 2 х = 0. (*) Имеем однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделив почленно обе части уравнения на cos 2 х, получим 3tg 2 х + tg х – 2 = 0. Докажем методом от противного, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, тогда из уравнения (*) видно, что и sin х = 0, что невозможно, так как не выполняется тождество sin 2 х
+
cos 2 х = 1. Для решения уравнения (*) обозначим tg х через т, имеем 3 т 2
+
т
-
2 = 0, tg х = - 1, х = агсtg
(

-
1) + Пn, х =
-
П/4
+
Пn, n € Ζ; tg х = 2/3, х = агсtg 2/3 + Пn, n € Ζ; Ответ:
-
П/4
+
Пn, n € Ζ; агсtg 2/3 + Пn, n € Ζ. Примечания.
1
. При решении однородных уравнений обязательно нужно обосновывать,
что сов х ≠ 0. В этом примере дан один из способов обоснования, в других примерах это делается другим способом.
2
. При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное уравнение относительно tg х.
3
. При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления, искусственные приемы.
Пример 2
. Решите уравнение 1 + cos х + сов 2х = 0. Решение. Выражение 1 + cos 2х заменим выражением 2 cos 2 х. Тогда уравнение принимает вид 2 cos 2 х + cos х = 0. Разложим левую часть этого уравнения на множители: cos х (2 cos х + 1) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть cos х = 0, х= П/2 + Пn, n € Ζ; 2 cos х +1= 0, 2 cos х = -1, cos х= - 1/2, х = ± агс cos (- 1/2 ) + 2Пn, n € Ζ; х = ± 2/3П + 2Пn, n € Ζ. Ответ: х = П/2 + Пn, n € Ζ; х= ±2/3П + 2Пn, n € Ζ;
4. Закрепление изученного материала
Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением (один ученик выполняет работу на крыльях доски). Во время работы учитель оказывает помощь слабоуспевающим учащимся. Выполните задания: 164(а, б), 169(а, 6), 174(а).
5.

Задание на дом
164(в, г), 169(в), 174(6); дополнительно 17З(а, 6).