Подготовил учитель математики МБОУ ООШ р.п. Горный

Мамедова Зульфия Садик кызы

Тема: Математические понятия и способы их определения.
План 1. Сущность понятия. Содержание понятия и его объем. 2. Определение понятий. 3. Ошибки в определениях. 4. Методика изложения определений. 1. Сущность понятия. Его содержание и объем. Познание реальной действительности осуществляется в диалектическом единстве чувственной и рациональной форм мышления. К чувственной форме деятельности относятся ощущения, восприятия, представления. Восприятием называется непосредственное чувственное отражение действительности в сознании человека. Представлением называется запечатленный в нашем сознании образ предмета или явления, в данный момент нами не воспринимаемого. К рациональной форме мышления, относятся понятия, суждения, умозаключения. Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки объектов реального мира. Термин "понятие" используется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Можно сказать, что понятие есть результат обобщения восприятий и представлений очень большого количества однородных явлений и предметов. Математические понятия отличаются высокой степенью абстрактности. Это обстоятельство послужило поводом для ошибочных представлений о математике, как о науке, в которой человек имеет дело с продуктами свободного творчества разума. Понятие всегда включает в себя существенные признаки данного множества объектов. Существенными признаками понятия называются такие признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы отличить объекты данного рода от других объектов. Пусть Р 1 , Р 2 , ……….Р n есть существенные признаки понятия Р. Это означает следующее:
1. если какой-нибудь отдельный объект не обладает хоть одним из этих признаков, то он не входит в понятие Р. 2. если какой-нибудь отдельный объект обладает всеми этими признаками, то он входит в понятие Р. Существенные признаки параллелограмма: 1. Четырехугольник; 2. противоположные стороны параллельны; 3. противоположные стороны равны; 4. диагонали в точке пересечения делятся пополам; 5. противоположные углы равны и т.д. При определении понятия «параллелограмм» указываются не все существенные признаки, а можно ограничиться признаками 1-2 (либо 1 и 3) (либо 1 и 4). Признаки входящие в определение понятия должны быть независимыми. В каждом понятии различают его содержание и его объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, объектов, охватываемых понятием. Объемом понятия называется совокупность объектов, на которые распространяется данное понятие. Понятие "человек". Содержание понятия: живое существо, создает орудия производства, обладает способностью абстрактного мышления. Объем: множество всех тетраэдров. Понятие "параллелограмм": (назвать содержание, объем понятия). Числовое множество: (назвать объем этого понятия). Между объемом и содержанием понятия существует такое соотношение: чем больше содержание, тем меньше его объем. Понятие "прямоугольник". Объем: все прямоугольники. Добавим новый признак - равенство прилежащих сторон, тогда объем сократится, в него войдут только квадраты. Если объем одного понятия входит как часть в объем другого понятия, то первое понятие называется видовым, а второе родовым. V 1  V 2 V 1 видовое понятие, V 2 родовое понятие Понятно, что названия "род" и "вид" имеют относительный характер. V "прям.призмы"  V "призмы"  V "многогранники" родовое понятие видовое понятие 2
Отношение между родовым и видовым понятием можно выразить следующим образом. род призма вид прямая призма В процессе конструирования определений приходится совершать переходы как от вида к роду (обобщение понятия), так и от рода к виду (ограничение понятия) Ограничение понятия Обобщение понятия "комплексное число" "квадрат" 2. Определение понятий. Большая роль в формировании понятий принадлежит речевому и символическому их выражению. Слово называют носителем понятия. Слово, обозначающее строго определенное понятие какой-либо области науки, называют научным термином. "Ромб", "тетраэдр", "многоугольник" – математические термины. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенное в связное предложение (речевое или символическое) есть определение понятия. В определении должно быть раскрыто содержание понятия, в нем не должно содержаться лишних слов, не должно быть и пропусков. Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые. (недостаточное) Квадрат – это параллелограмм с равными сторонами и четырьмя прямыми углами (избыточное). 3
Необходимо, чтобы учащиеся понимали, что никакое определение не доказывается. Определение понятия – суть условное соглашение, но оно выбирается разумно, исходя из реальных свойств того или иного понятия в соответствии с теми или иными требованиями. а) "прямоугольник" – в школе определение избыточное с целью уменьшения числа доказываемых свойств. б) привести другие определения параллелограмма, квадрата. Некоторые первоначальные математические понятия не определяются: точка, множество, прямая, плоскость, расстояние. Способы введения определений понятий. 1. Через ближайший род и видовое отличие. "Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны". "Взаимно простыми числами называются такие натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1". "Отрезок – геометрическая фигура, состоящая из двух точек и всех точек, лежащих между ними". Определяя каждое из этих понятий, мы указываем родовое понятие, к которому определяемое понятие относится как вид. Это первый этап в конструировании определения. Второй этап в конструировании определения состоит в том, что указываются те признаки, которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего рода. 2. Генетический способ. Генетическое определение – это такой вид определения, который указывает на происхождение определяемого объекта. а) Цилиндр – фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг своей стороны. б) Если на прямой взять точку, то она разделит прямую на две части, называемые лучами (Г 7 ). в) Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости, с двугранным углом образуется угол который называется линейным углом двугранного угла. (Г 10-11 ) Если содержание понятия раскрывается в его определении, то процесс выяснения объема понятия называется классификацией.Т.е. под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. 4 натуральное число
Правильная классификация предполагает соблюдение следующих условий: 1. Классификация проводится по определенному признаку. 2. Понятия, получающиеся в процессе классификации, должны быть независимыми, т.е. пересечение классов пусто. 3. Сумма объемов понятий, полученных при классификации, должна равняться объему исходного понятия. 4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду. комплексные числа вещественные мнимые рациональные иррациональные целые дробные натуральные нуль n – Классификация треугольников по числу равных сторон, по величине наибольшего из углов: равносторонний, равнобедренный, произвольный; остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. 3. Ошибки в определениях: 1. Отсутствие указания на родовое понятие. "Ромб – это когда стороны равны" "Подобные треугольники – когда их углы равны". Ошибки подобного рода учениками допускаются очень часто. 2. Указывается не то родовое понятие, к которому данное понятие относится. "Отношением называется сравнение двух чисел посредством деления"(отношение есть число, сравнение – некоторый процесс). " Д ву г р а н н ы м у гл ом н а зы ва е т с я угол, образованный д вум я полуплоскостями, исходящими из одной прямой". 5 простое число составное число единица целые неотрицательные целые отрицательные
Двугранный угол – пространственная фигура, угол – фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из нее. "Угол" не является родовым понятием для двугранного угла. 3. Избыточное определение (привести примеры) 4. Недостаточное определение (привести примеры)
4. Методика введения определений.
В школьном курсе математики возможны два пути введения определений понятий: абстрактно-дедуктивный и конкретно-индуктивный. Особенность абстрактно-дедуктивного метода введения математических определений состоит в том, что каждое определение вводится сразу, в готовом виде, без предварительного разъяснения на конкретных примерах. Схема введения понятия "Квадратное уравнение" 1. Дать определение нового понятия. ах 2 +вх+с=0 при а  0 в,с – любое число 2. Рассмотреть частные и особые полное уравнение ах 2 +вх+с=0 случаи этого понятия, проведя приведенное уравнение своеобразную классификацию. х 2 +рх+q=0 Привести примеры этого неполное уравнение понятия. в=0 либо с=0 либо в=с=0 3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами. ах 2 +с=0 ах 2 +вх=0 ах 2 =0 4. Привести конкретные примеры S=q 2 2 t ; qt 2 – 2S=0 применения этого понятия. решение задач Сущность конкретно-индуктивного метода введения математических определений состоит в том, что: 1. Учитель предлагает учащимся практические примеры, демонстрирующие целесообразность изучения этого понятия; 2. Выявляются существенные и несущественные признаки, вводится термин. 3. Производится отбор существенных признаков, и учащиеся определяют данное понятие (первичное, вторичное с поправками, четкое - учителем). 4. Иллюстрируется понятие конкретными примерами, вводится (при необходимости) символическое обозначение. 5. Рассматриваются другие возможные определения этого понятия. 6
Проиллюстрировать на примере геометрической прогрессии или ознакомление с составными и простыми числами. 7