Решение геометрических задач из части2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом Выполнила: учитель математики высшей квалификационной категории Ханфенова Зарема Абдулаховна.
СОДЕРЖАНИЕ 1. КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 2. ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3. КООРДИНАТЫ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКОВ

А

А

1

В

C

D

B

1

C

1

D

1

y

x

z

a

a

a

(0;а;0)

(0;0;0)

(a;0;0)

(а;a;0)

(0;0;a)

(0;а;a)

(а;a;a)

(a;0;a)

КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
3
Вспомним основные формулы Если известны координаты точек А и В: , то     B B B A А z y x B z у x ; ; , ; ; А А 1. Координаты вектора АВ:   A B A B A B z z y y x x    ; ; АВ 2. Длина вектора АВ:       2 2 2 АВ A B A B A B z z y y x x       3. Координаты середины отрезка АВ:   М М М z у x М ; ; 2 ; 2 ; 2 В А М В А М В А М z z z у у у х х х      
1. Формулы и методы решения. 1.1. Угол между прямыми. Вектор лежит на прямой а, Вектор лежит на прямой в.   а а а z у х ; ; а   в в в z у х в ; ; Косинус угла между прямыми а и в: 2 2 2 2 2 2 cos в в в а а а в а в а в а z у х z у х z z у у x x             1.2. Угол между прямой и плоскостью. Прямая а образует с плоскостью угол . Плоскость задана уравнением: ах+ву+сz+d=0 и - вектор нормали, Синус угла определяется по формуле:     90       с в а n ; ; 2 2 2 2 2 2 sin с в а z у х с z в у а x а а а а а а            
1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана уравнением: и ее вектор нормали плоскость задана уравнением и ее вектор нормали . Косинус угла между плоскостями:    1 1 1 ; ; с в а n  0 1 1 1     d z с у в х а  0 2 2 2     d z с у в х а   2 2 2 ; ; с в а n   2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos с в а с в а с с в в а а             1.4. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние h от точки до плоскости , заданной уравнением ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:   М М М z у x М ; ;  2 2 2 с в а d z с у в х а h М М М         
1.5. Если отрезок АВ, концами которой служат точки разделен точкой в отношении , то координаты точки С определяются по формулам:     B B B A А z y x B z у x ; ; , ; ; А А   z у x ; ; С                 1 ; 1 ; 1 В А В А В А z z z у у у х х х
2. Координаты вершин многогранников 2.1. Координаты вершин единичного куба.                 1 ; 1 ; 1 0 ; 1 ; 1 1 ; 1 ; 0 0 ; 1 ; 0 1 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 1 1 1 1 С С D D В В А А 2.2. Координаты вершин правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1.                         1 ; 2 3 ; 2 1 0 ; 2 3 ; 2 1 1 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 1 1 1 С С В В А А
2.3. Координаты вершин правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1.                                                   1 ; 2 3 ; 2 1 0 ; 2 3 ; 2 1 1 ; 3 ; 0 0 ; 3 ; 0 1 ; 3 ; 1 0 ; 3 ; 1 1 ; 2 3 ; 2 3 0 ; 2 3 ; 2 3 1 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 1 1 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 1 1 1 1 1 1 F F Е Е D D С С В В А А
                    6 2 ; 6 3 ; 2 1 0 ; 2 3 ; 2 1 , 0 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 0 D С В А 2.4. Координаты вершин правильной треугольной пирамиды (тетраэдра), все ребра которой равны 1 2.5. Координаты вершин правильной четырехугольной пирамиды , все ребра которой равны 1                 2 2 ; 2 1 ; 2 1 0 ; 1 ; 0 , 0 ; 1 ; 1 , 0 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 0 S D С В А
2.6. Координаты вершин правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2                          0 ; 2 3 ; 2 1 , 0 ; 3 ; 0 , 0 ; 3 ; 1 , 0 ; 2 3 ; 2 3 , 0 ; 0 ; 1 , 0 ; 0 ; 0 F Е D С В А
3. Примеры решения задач 3.1. В единичном кубе найти угол между прямыми и АВ 1 1 ВС х y z Введем систему координат и найдем координаты точек АВ 1 1 ВС вспомним?     0 ; 1 ; 0 , 1 ; 0 ; 1 1 1 ВС АВ Находим координаты направляющих векторов прямых и по формуле 1. С , В В, А, 1 1 вспомним? Косинус угла между прямыми определяется по формуле 1.1:  и АВ 1 1 ВС вспомним?              60 : 60 , 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 cos 2 2 2 2 Ответ  
х z y       0 ; 2 3 ; 2 1 - AF             0 ; 2 3 ; 2 3 , 1 ; 0 ; 1 , 1;0;0 В 1 С В 3 a - b 0 c -a d    3.2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью 1 А...F 1 ВСС Плоскость совпадает с плоскостью грани ; зададим ее с помощью точек ВСС 1 С С ВВ 1 1 ВСС 1 Уравнение плоскости примет вид Вектор нормали : ВСС 1 0 3 3 0 3 а - aх      у х или а у   0 ; 1 ; 3  n Синус искомого угла:        60 : ; 2 3 0 2 3 2 1 0 1 3 0 0 2 3 1 2 1 3 sin 2 2 2 2                                        Ответ Введем систему координат и находим координаты нужных точек. вспомним? Найдем координаты вектора Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости           0 2 3 2 3 1 0 ; 2 3 ; 2 3 С 0 1 1;0;1 1 B 0 1 1;0;0 В                         d b а ВСС d с a ВСС d а ВСС  вспомним?
3.3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью SAD, где Е- середина ребра SC х y z Координаты точки Е определим по формуле 3: вспомним?                4 2 ; 4 3 ; 4 1 4 2 ; 4 3 ; ВЕ и 4 3 Е Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0 Из того, что следует, что d=0, b+d=0 и :       ADS 2 1 S 0;1;0 D , 0;0;0 А          2 2 ; 2 1 ; 0 2 2 2 1 2 1 а        d c b Отсюда получим, что и уравнение плоскости ADS примет вид: . Вектор нормали 0 , 0 , 2 а     d b с 0 2 или , 0 2      z х сz сх   1 ; 0 ; 2  n Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2 вспомним?     3 2 : Ответ 4 3 0 4 1 - sin 3 2 1 0 2 4 2 4 3 4 1 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2                                          вспомним?
х y z                                                 1 0 ; 1 0 ; 1 0 1 1 0 ; 1 0 ; 1 0 1 1 0 ; 1 0 ; 1 0 1 х АК K z у 3 6 : Ответ 3 6 9 6 9 1 9 1 9 4 3 1 ; 3 1 ; 3 2 , 3 1 ; 3 1 ; 3 2 2 1 0 1 1 1 1 0 АК т.к. 1 1                               AK AK K BD AK ВD         1;1;1 ВD 1  3.4. В единичном кубе А… найти расстояние от точки А до прямой 1 D 1 ВD Находим координаты точек , вектора       0;1;1 D 1;0;0 В 0;0;0 А 1 Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК. Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении , то координаты точки К определяются по формуле 1.5: λ Вспомним? К Вспомним?
3.5. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости 1 А...F 1 BFE х y z Координаты точек       2 1 - F , Е и 1;0;0 В 0;0;0 А 1         0 ; 2 3 ; 1 ; 3 ; 0 Подставив координаты точек в общее уравнение плоскости получим систему уравнений: 1 E и F B,         3 a b -2a, c -a, d Откуда 0 1 3 1 1 ; 3 ; 0 1 0 2 3 2 1 1 0 ; 2 3 ; 2 1 0 2 3 2 1 1 ВFE В                                                d c b BFE E d b a ВFE F d b a Уравнение плоскости примет вид: Вектор нормали: 0 1 2 3 x или , 0 2 3 ax         z y a az ay   2 ; 3 ; 1  n Вычислим расстояние h от точки А до плоскости по формуле 1.4: 1 BFE       4 2 8 1 2 3 1 1 0 2 0 3 0 1 2 2 2              h 4 2 : Ответ   2 ; 3 ; 1  n вспомним ?
3.6. В единичном кубе , найти расстояние между прямыми и 1 А...D 1 ВС 1 АВ х y z При параллельном переносе на вектор прямая отображается на прямую . Таким образом, плос- кость содержит прямую и параллельна прямой . Расстояние между прямыми и находим как расстояние от точки В до плоскости ВА 1 ВС 1 АD 1 1 AB D 1 АВ 1 ВС 1 АВ 1 ВС 1 1 AB D Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости . Так как 1 1 AB D             c b D c a D d D            1 1 B 1 A 0;1;1 1 D 1 1 AB 1;0;1 1 B 0 1 1 АВ 0;0;0 А Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0.. Вектор нормали   1 ; 1 ; 1  n Расстояние h от точки до плоскости находим по формуле 1.4   1;0;0 B 1 1 AB D вспомним ?     3 3 3 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 2 2 2             h 3 3 : Ответ