Н.И. МЕРЛИНА, М.Л. КОТЕЛЬНИКОВА
О ПРЕПОДАВАНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

НА ГЕОГРАФИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ

ЧУВАШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА им. И.Н. УЛЬЯНОВА
Географический факультет в Чувашском государственном университете был создан на базе исторического. Поэтому принято считать, что студенты-географы относятся к студентам-гуманитариям. Существуют стереотипы, что школьный учитель истории может с успехом вести и уроки географии. Действительно, учитывая характер и уровень школьной географии, может. Но в классическом университетском образовании такого быть просто не должно, если, конечно, главной целью является подготовка не только школьных учителей географии, но и специалистов широкого профиля. Всем хорошо известно, что география все же естественнонаучная дисцип- лина, следовательно, это должно найти свое отражение и в учебных планах фа- культета, т.е. высшая математика должна являться одним из основных курсов в фундаментальной подготовке будущих специалистов. Здесь, по нашему мнению, есть ряд проблем, которые требуют принципиального решения. Во-первых, соотношение часов, выделяемых на чтение лекций и проведе- ние практических занятий не совсем эффективно. Так, в первом семестре на 2 часа лекций приходится 3 часа практики, это можно назвать допустимым, но яв- но недостаточным. Во втором же семестре, когда начинается изучение таких важных разделов, как математический анализ, дифференциальные уравнения, функции нескольких переменных и теория вероятностей, на 3 часа лекций отво- дится всего 2 часа практических занятий. Это абсолютно недопустимо! Студенты просто не успевают проанализировать весь лекционный материал на практике, а от этого, естественно, страдает и качество обучения. Во-вторых, при таком минимуме отсутствуют часы, выделяемые на текущий контроль качества и уровня знаний и умений студентов (учебным планом не пре- дусмотрены коллоквиумы, контрольные работы, типовые расчеты). И совсем не- понятно, почему курс высшей математики заканчивается не экзаменом, а всего лишь зачетом? Этого тоже явно недостаточно для эффективного обучения матема- тике (хорошо известно отношение студентов к экзамену и зачету: к экзамену необ- ходимо специально готовиться, а к зачету можно относиться не так серьезно). В-третьих, общая школьная математическая подготовка студентов геогра- фического факультета оставляет желать лучшего. Многие студенты вообще счи- тают, что география и математика «не коррелируют». – Если бы знал, что здесь есть математика, вообще не стал бы поступать на географический факультет, – так часто думают и говорят студенты. Хотя, надо отметить, что за последние два года наблюдаются некоторые положительные изменения. Видимо, то, что результаты ЕГЭ по математике на- чали учитываться при поступлении, сыграло свою положительную роль. Но все же математическую подготовку назвать удовлетворительной сложно. И это, ес- тественно, также отражается на качестве обучения. Очень важным, на наш взгляд, является и вопрос о содержании высшей ма- тематики для студентов географического факультета. Споры о том, что необхо- димо «прикладникам» (тем, кто применяет математику за ее пределами) идут давно. Естественно, что существенное различие в подходах чистой и приклад- ной математики должно учитываться в преподавании курса.
Вообще, уже само понимание предмета математики, а значит, его содержа- ние и расстановка в нем акцентов вызывают разногласия. По этому вопросу существует два различных мнения. Так, некоторые счи- тают, что математика для «прикладников» сегодня не может не учитывать со- временного интенсивного развития разветвленной системы идей, понятий и ме- тодов, лежащих в основе приложений математики. Поэтому курс высшей мате- матики должен быть курсом прикладной математики, – конечно, не узкоутили- тарным и рецептурным, а включающим в себя и необходимые теоретические концепции, т.е. содержание курса должно быть достаточно широким и глубоким для эффективного решения задач по специальности. Преподавание математики в вузах, по их мнению, должно быть подчинено следующим целям: – сообщить студентам основные теоретические сведения, необходимые для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин и после- дующего приложения математики, и обучать их соответствующему математиче- скому аппарату; – воспитать у студентов прикладную математическую культуру, необходи- мые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики; – развивать логическое и алгоритмическое мышление; – ознакомить студентов с ролью математики в современной жизни и осо- бенно в современной технике, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач; – выработать первичные навыки математического исследования приклад- ных вопросов: перевода реальной задачи на адекватный математический язык, выбора оптимального метода ее исследования и интерпретации результата ис- следования; – выработать навыки доведения решения задачи до практически приемле- мого результата – числа, графика, точного качественного вывода и т.п. с приме- нением для этого адекватных вычислительных средств (включая компьютеры), таблиц и справочников; – выработать умение самостоятельно разбираться в математическом аппа- рате, применяемом в литературе, связанной со специальностью студента. Конечно, в нынешних условиях ослабления школьной подготовки и постоян- ной борьбы математических кафедр против сокращения часов, отводимых на курс математики, перечисленные цели имеют лишь характер ориентиров. Но думается, что и ориентиры необходимы [2]. Другие же, наоборот, считают, что современные темпы развития науки и тех- ники таковы, что в силу быстрого изменения конкретных условий работы делает- ся невыгодным готовить узких специалистов. Поэтому, во-первых, математические курсы должны изучаться по одинаковой программе, не зависящей от будущей спе- циальности студента, на основе единого цикла, общего для всех факультетов. Во- вторых, от будущей специальности студента зависят лишь содержание и объем курса математики, отбор математических понятий и фактов, отбор методов, общ- ность и детализация изложения, подбор примеров, иллюстрирующих применение изучаемых математических понятий и методов к решению прикладных задач. Сторонники этой точки зрения («фундаменталисты») считают, что учить надо самой математике, а не ее приложениям, исходя только из будущей специализа- ции. Л.Д. Кудрявцев [1] считает, что обучение математике нельзя подменить ряду, ее приложений и методов , не разъясняя сущности математических понятий и не учитывая внутреннюю логику самой математики. Так, подготовленные специалисты могут оказаться беспомощными при изучении новых конкретных явлений, поскольку будут лишены необходимой математической культуры и не приучены к рассмотре-
нию абстрактных математических моделей. Им предложены и проанализированы 10 положений, которые должны быть положены в основу обучения математике: 1. В курсе математики изучаются математические структуры. 2. Математика едина. 3. Содержание курса математики не может быть определено с чисто праг- матической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специаль- ности учащегося, без учета внутренней логики самой математики. 4. Целями при обучении математике являются приобретение учащимися определенного круга знаний, умения использовать изученные математические методы, развитие математической интуиции, воспитание математической культуры. 5. Преподавание математики должно быть по возможности простым, яс- ным, естественным и базироваться на уровне разумной строгости. 6. Учить надо тому, чему нужно и чему трудно научиться. 7. Теоремы существования полезны не только для чистой, но и для при- кладной математики. 8. На первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход. 9. Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности. 10. Каким разделам математики и в каком объеме надо учить студентов данной специальности – должны определять специалисты в этой области при консультации с математиками, а как этому учить – это дело профессионалов- математиков. По большому счету, два этих мнения не противоречат друг другу в глав- ном: студенты должны обладать математической культурой и иметь общее представление о математических методах и их возможностях. Они различают- ся только в выборе путей достижения указанной цели и расходятся во взгля- дах на содержание курса высшей математики. Таким образом, принципиальными моментами проблемы математического образования являются: выбор объема и содержания математических курсов, определение целей обучения, правильное сочетание широты и глубины изло- жения, строгости и наглядности, т.е. выбор наиболее эффективных и рацио- нальных путей обучения, и все это с учетом ограниченного времени, отводи- мого на изучение математики. Мы являемся больше сторонниками второй точки зрения на содержание курса высшей математики и считаем, что уровень строгости изучаемого мате- риала для студентов-математиков и нематематиков должен быть различным. Отсюда вытекает серьезная задача в обучении математике – найти тот уро- вень строгости, который оказался бы достаточным для обоснования всего су- щественного и был бы доступен для студента. Эта задача не только важна, но и трудна: прежде всего, необходимо преодолеть психологический барьер сту- дентов-гуманитариев перед естественнонаучным знанием. Поэтому должна быть принципиально изменена и сама методика подачи материала. Нами готовится к изданию учебно-методический комплекс по высшей ма- тематике для студентов первого курса географического факультета, с учетом вышесказанного. Остановимся на некоторых важных, на наш взгляд, моментах. Любой но- вый раздел высшей математики обычно начинается с введения новых поня- тий. При этом понятия вводятся чаще всего путем формального определения, с указанием его свойств и т.д. Однако, как показывает практика, такое фор-
мальное введение не способствует формированию правильного понимания студентами этого понятия. Например, матрицы. Часто студенты не понимают их основного назначения, а воспринимают их лишь как некий абстрактный ма- тематический объект. Поэтому сначала стоит их подвести к пониманию сути матрицы, предложив студентам решить небольшую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными (знакомым им еще со школы). Можно обра- тить их внимание на то, что при вычислениях происходит работа только с чи- словыми коэффициентами при неизвестных, следовательно, в целях экономии можно не тратить время на запись самих неизвестных, сохранив лишь пра- вильные позиции в записи коэффициентов при этих неизвестных. Так, по край- ней мере, становится понятно, что представляют собой матрицы и для чего их можно использовать. Решим систему: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = + − = + + − . 1 8 7 , 25 4 3 , 18 5 3 2 z y x z y x z y x (1) Переставим местами первую и вторую строки ( ) 2 1 c c → , получим: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = + + − = + − . 1 8 7 , 18 5 3 2 , 25 4 3 z y x z y x z y x Ко второй строке прибавим первую, умноженную на два, а к третьей стро- ке – первую же, умноженную на (-7): ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = + = 1 3 3 1 2 2 7 2 , c c c c c c ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + − = + − → ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − + = + − = + − . 6 , 68 13 3 , 25 4 3 . 174 29 29 0 , 68 13 3 0 , 25 4 3 z y z y z y x z y z y z y x Переставим местами вторую и третью строки ( ) 3 2 c c ↔ : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − − = − = + − . 68 13 3 , 6 , 25 4 3 z y z y z y x К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3 ( ) 2 3 3 3c c c + = : . 2 , 1 , 5 . 50 10 , 6 , 25 4 3 . 50 10 0 , 6 , 25 4 3 = − = = → ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = + − → ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − = + − x y z z z y z y x z z y z y x Ответ: ( ) 5 ; 1 ; 2 − Заметим, что мы работаем только с численными коэффициентами. По- этому это решение можно записать по-другому: ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ − = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ↔ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 1 3 3 1 2 2 2 1 7 2 1 18 25 1 8 7 5 3 2 4 3 1 1 25 18 1 8 7 4 3 1 5 3 2 c c c c c c c c
→ → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 174 68 25 29 29 0 13 3 0 4 3 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ↔ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − 2 3 6 68 25 1 1 0 13 3 0 4 3 1 c c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − → 50 6 25 10 0 0 1 1 0 4 3 1 3 68 6 25 13 3 0 1 1 0 4 3 1 2 3 3 c c c Последняя строка может быть записана в виде уравнения: 50 10 = z и т.д. Таким образом, получается тот же самый ответ, но при помощи более удобной формы записи. Такие «таблицы» чисел называются матрицами. А дальше можно дать и само определение матриц. Рассмотрим еще один фрагмент. Например, раздел «Функции нескольких переменных» мы начинаем с за- дач, приводящих к понятию таких функций. 1) Площадь прямоугольника (функция двух переменных) ( ) y x S S xy S , = ⇒ = 2) Объем прямоугольного параллелепипеда (функция трех переменных) ( ) z y x V V xyz V ; ; = ⇒ = 3) Нагревание тела (функция четырех переменных) ( ) ( ) t M f t z y x f T ; ; ; ; = = , где ( ) z y x M M ; ; = – точка, в которой измеряется тем- пература; t – момент времени, в который измеряется температура. После такого «отступления» студентам легче понять, о чем пойдет речь. Определение: Функцией нескольких переменных (или функцией точки) на- зывается функция, которая каждой точке M из данного множества G ставит в соответствие некоторое число ( ) M f . Пример 1: Дана функция ( ) x y y x y x f 3 2 3 2 ; − − = . Найти значение функции ( ) 1 ; 2 f и ( ) 3 ; 2 f . а) ( ) ; 4 1 6 2 3 4 1 ; 2 − = − − = f б) ( ) ; 0 5 6 6 9 4 3 ; 2 − = − − = f в точке ( ) 3 ; 2 M функция ( ) y x f ; не существует. Множество точек M , для которых функция ( ) M f определена (т.е. сущест- вует), называется областью определения (или областью существования) функции.
Пример 2: Найти и изобразить область определения функции ( ) y x y − = arcsin . Так как ( ) : arcsin t D [ ] 1 ; 1 − ∈ t ⇔ ≤ − ≤ − ⇒ 1 1 y x ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ − ≥ ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ − ⇔ . 1 , 1 1 , 1 x y x y y x y x На наш взгляд, учебно-методический комплекс по конкретной дисциплине может быть построен в следующем виде: 1) учебная (рабочая) программа; 2) конспект (план) лекций; 3) список литературы; 4) контрольные вопросы и задания, темы рефератов; 5) экзаменационные вопросы (билеты); 6) методические указания к лабораторным и курсовым работам; 7) задания на лабораторные и курсовые работы; 8) электронные пособия, книги, статьи, документация (если это разработано); 9) примеры программ, библиотеки, тесты. Таким образом, учебно-методический комплекс дисциплины является ча- стью Интранет-узла кафедры. Все это позволяет объединить все материалы в одном месте и служит единой точкой входа (окном) для всех стадий учебного процесса, кроме того, портал позволяет гибко расположить элементы учебно- методического комплекса, выбирая информацию по различным критериям поис- ка – по темам, лекциям, виду информации (книга, статья и пр.). Рабочая программа – это необходимый документ для каждого преподава- теля. Она должна быть доступной для студентов, так как определяет план заня- тий и разбивку материала по лекциям. Еще один важный аспект: обзор литера- туры по читаемому курсу, поэтому в составе учебно-методического комплекса обязательно должен быть полный список основной и дополнительной литерату- ры, на рассмотрение которых может уйти почти целая лекция. Это экономит время преподавателя и студента, предоставляя, тем не менее, полную библио- графическую информацию по книгам. Наравне со списком литературы по важно - сти получения информации сейчас выступает список ресурсов Интернет, кото- рый также можно привести на сайте кафедры или на CD дисках. Литература 1. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание: Учеб. пособие для вузов / С предисл. П.С. Александрова. 2-е изд., доп. М.: Наука, 1985. 176 с. 2. Мышкис А.Д. О преподавании математики прикладникам // Математика в высшем образовании. 2003. № 1. С. 37-52.

МЕРЛИНА НАДЕЖДА ИВАНОВНА родилась в 1944 г. Окончила Казанский госу-

дарственный университет. Кандидат физико-математических наук, доктор педагоги-

ческих наук, профессор. Заведующая кафедрой методики преподавания математи-

ки Чувашского университета. Область научных интересов – методика преподавания

математики в высшей и средней школе, ТРИЗ-педагогика. Автор 16 научных работ.

КОТЕЛЬНИКОВА МАРИНА ЛЬВОВНА родилась в 1963 г. Окончила Чувашский

государственный университет. Старший преподаватель кафедры методики препо-

давания математики Чувашского университета. Область научных работ – методика

преподавания математики. Автор 12 научных работ.