Математическое моделирование Тема: Построение графических образов. Построение графиков функций, содержащих знак модуля. Цель урока: - обучающая: повторить методы построения графиков функций, со д е рж а щ и х з н а к м о д у л я : y = f ( | x | ) , y = | f ( x ) | , y = | f ( | x | ) | . Н ау ч и т ь распознавать графики основных видов функции и графиков, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины. -развивающая :развивать математические способности у обучающихся , продолжить формирование умений логически мыслить и отыскивать математические закономерности, совершенствовать графическую культуру. - воспитательная: воспитывать навыки работы в нестандартной ситуации, создавать положительную мотивацию, развивать у обучающихся культуру общения, умения работать в группах, способствовать развитию творческой деятельности обучающихся. Задачи:  отработать навыки в изображении графиков функций, содержащих знак модуля;  развивать общеучебные навыки и умения;  формировать коммуникативную и информационную компетентности об учащихся;  научить использовать полученные знания при решении задач;  развивать навыки исследовательской работы;  систематизировать полученные знания. Ход урока:
1.
Организационный момент: сообщить тему, план работы.
2.
Актуализация знаний обучающихся: 1) Теоретический опрос: сформулировать правила построения графиков функций, содержащих знак модуля. Один ученик рассказывает методы построения графиков функций, сод ержащих знак м о д ул я : y = f ( | x | ) , y = | f ( x ) | , y = | f ( | x | ) | . 2
2) Учитель: Построение графиков функций, содержащих знак модуля, есть частичный случай построения графиков сложных функций. Графики с модулями кажутся сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных функций, содержащих абсолютную величину, можно решить различные интересные задачи, в том числе задачи из ЕГЭ. Особенно интересны квадратичные функции с модулем, графики которых получаются очень красивыми. Рассмотри квадратичные функции. Выполним практическую работу. Практическая работа. Один ученик работает у доски,. остальные самостоятельно в тетради. Постройте графики функций y = | x 2 − 2 x − 3 | , y = x 2 − 2 | x | − 3, y = | x 2 − 2 | x | − 3 | с помощью преобразования графика функции y = x 2 − 2 x − 3 . Решение: 1. y = x 2 − 2 x − 3 = x 2 − 2 x + 1 − 1 − 3 = ( x − 1 ) 2 − 4 . y = ( x − 1 ) 2 − 4 y = | x 2 − 2 x − 3 | рис.1. 3
2. y = x 2 − 2 | x | − 3 = ( | x | − 1 ) 2 − 4 рис 2 3. y = | x 2 − 2 | x | − 3 | рис 3 4
Ученик у доски комментирует выполнение задания. Учитель: разберем задания , которые встречается на ЕГЭ в части С. Задача 1 (ЕГЭ часть С) Сколько корней имеет уравнение | x 2 − 2 x − 3 | = a в зависимости от значений параметра a? Решение (совместный разбор): y = | x 2 − 2 x − 3 | a<0 – решений нет a=0 – 2 решения a ∈ ( 0 ; 4 ) - 4 решения a=4 – 3 решения a ∈ ( 4 ; + ∞ ) - 2 решения Задача 2 (ЕГЭ часть С) 5
При каких значениях k уравнение | x 2 − 6 | x | + 8 | = k имеет 4 корня? Решение(совместно разбирается план решения , один ученик у доски) Построим график функции y = | x 2 − 6 | x | + 8 | | x 2 − 6 | x | + 8 | = | | x | 2 − 6 | x | + 9 − 9 + 8 | = | ( | x | − 3 ) 2 − 1 | y = | ( | x | − 3 ) 2 − 1 | Ответ:к=0, к ∈ ( 1 ;8 ) - 4 корня. Задача 3 (ЕГЭ) Найти все значения a, при которых уравнение | | x | − 5 + a | = 6 имеет ровно 3 корня. Решение: | | x | − 5 + a | = 6 ≤¿ [ | x | − 5 + a = 6 | x | − 5 + a =− 6 ≤¿ [ | x | − 11 =− a | x | + 1 =− a ≤¿ [ a = 11 − | x | a =− 1 − | x | Построим графики функций y = 11 − | x | и y =− 1 − | x | 6
Уравнение имеет три корня при а=-1. Ответ: -1. Работаем в парах, обсуждаем решение следующей задачи. Задача 4 (устно) График какой функции изображен на рисунке? А) y =− x 2 + 4 | x | Б) y = | − x 2 + 2 | x | | В) y =− x 2 − 4 | x | Г) y = | − x 2 − 2 | x | | y = ( | x | − 2 ) 2 + 4 =− | x | 2 + 4 | x | − 4 + 4 =− x 2 + 4 | x | 7
Ответ: А). Рассматриваем тригонометрические функции и преобразования с ними Практическая работа. Построить график функции ( | x | − π 6 ) , y =¿ | sin ( x − π 6 ) | , y = | sin ( | x | − π 6 ) | y = sin ¿ с помощью преобразования графика функции y = sin x После выполнения работы учитель предлагает ее проверить (графики изображены заранее на крыльях доски). Задача 5 Решить уравнение | sin х | = | х − π 2 | + 1 Решение: Построим графики функции у= | sin х | и у= | х − π 2 | + 1 8
х= π 2 – это абсцисса точки пересечения графиков, проверкой убеждаемся, что π 2 корень уравнения. Ответ: π 2 Решить самостоятельно, взаимопроверка. Задача 6 Решить неравенство | cos x | ≥ | x | + 1 Ответ: 0.
3.
Подведение итогов. Итоги урока, рефлексия, домашнее задание. Домашняя работа 1. Сколько решений имеет уравнение √ 4 − x 2 = | x | + 2 2. Решить уравнение | cos x | = | x | + 1 3. Решить неравенство | sin x | ≥1 + | x − π 2 | 4. Построить график функции y = | | | x − 2 | − 1 | − 2 | 5. Построить график функции y = | x + 1 | + | x − 1 | 9
6. Решить уравнение | sin х | = | х + π 2 | + 1 7. Сколько корней имеет уравнение | x 2 − 6 x + 5 | = a в зависимости от параметра a? 10
Учебно-методическое обеспечение. 1. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» (приложение к газете «Первое сентября» ). №45, 2002. №8, 2003. 2. Локоть В.В. Задачи с параметрами в курсе 8-9 классов с углубленным изучением математики. – Мурманск, 1996. 3. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1987. 4. Колесникова, С.И. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ / С.И. Колесникова. – 3-е изд. – М.: Айрис - пресс, 2009. – 272 с. – (Домашний репетитор: Подготовка к ЕГЭ). 5. Лысенко Ф.Ф. Математика. Тематические тсты. Часть II. Подготовка к ЕГЭ – 2010. 10-11 классы / Под редакцией Ф,Ф, Лысенко. – Ростов – на Дону: Легион, 2010. – 176 с.. 11