Муниципальное образовательное учреждение «Шило-Голицынская средняя общеобразовательная школа Ртищевского района Саратовской области»
Урок алгебры в 8 классе
Автор учитель математики Шувакина Р.Н.
Тема урока:
Теорема Виета.
Тип урока:
открытие новых знаний
Технология:
проблемно – диалогическая
Цель урока:
изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета
Задачи урока:

Образовательные:

-
формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях; - совершенствовать навык решения квадратных уравнений; - обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.
Развивающие
: - формировать самостоятельность и коммуникативность; - создавать условия для проявления познавательной активности учащихся; - учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.
Воспитательные:
- воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку); - воспитывать культуру умственного труда.
Материалы к уроку:
презентация, лист самооценки (Приложение), задания на карточках, эталоны и критерии для проверки и оценки, карточки для рефлексии.
Ход урока

I. Организационный момент (1 мин)
- Приветствие учителя. - Прочитайте высказывание Бернарда Шоу (ирландский драматург, философ и прозаик): «Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность»
(Слайд 1)
- Как вы понимаете это высказывание? -Урок не может быть вне деятельности, мы с вами будем трудиться в поисках научной истины. Пожелайте друг другу удачи.
II. Актуализация знаний (5 мин)
- Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения) - Какие уравнения называются квадратными? - Какие уравнения называются приведенными квадратными? - Можно ли неприведенное квадратное уравнение представить в виде приведенного? - Каким образом? -Запишите на доске и в тетрадях общий вид приведенного квадратного уравнения (
х

2

+ px + q = 0
) (способ выполнения: 1 ученик у доски, остальные в тетрадях) 1
- Проверим домашнее задание:
(Слайд 2)
а) 7х 2 - 9х + 2 = 0 б) 5х 2 = 12х в) 7х 2 – 28 = 0 г) х 2 + 20х + 91 = 0 - Задание №2. Решите уравнения (по одному уравнению)
(Слайд 4)
. а) х 2 + 6х + 5 = 0 б) х 2 – х – 12 = 0 в) х 2 + 5х + 6 = 0 г) х 2 + 3х – 10 = 0 д) х 2 – 8х – 9 = 0
III. Создание проблемной ситуации (2 мин)
- А сейчас я приглашаю вас в сказку «Попадет ли Золушка на бал»?
(Слайд 6)
В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история. Король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой свою падчерицу Золушку
(Слайд 7)

Мачеха:
Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдешь сумму и произведение корней 20 уравнений.
Золушка:
Я хорошо решаю уравнения, но за 5 минут мне никак не успеть!!!
Учитель:
На помощь Золушке спешит Фея.
Золушка:
Здравствуй, дорогая Фея!
(Слайд 8)

Фея:
Золушка, не горюй. Я открою тебе секрет, и ты справишься с заданием даже быстрей! И Фея открыла Золушке секрет. А этот секрет, который вы сами откроете, и будет являться темой нашего урока.
Золушка:
Я все поняла, дорогая Фея! Спасибо!
(Слайд 9)
И через 5 минут Золушка дала ответы. А вы сможете найти суммы и произведения корней этих уравнений так же быстро?
(Слайд 10)
(Нет)
IV. Выдвижение гипотез (3 мин)
- Почему вы не можете также быстро выполнить это задание? (Не знаем секрета, не знаем быстрого способа определения суммы и произведения корней приведенных квадратных уравнений). - Как вы думаете, с чем могут быть связаны корни квадратного уравнения? (C коэффициентами). - Какой у вас возникает вопрос? Что вам предстоит выяснить? (Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если да, то какова эта связь?)
(Слайд 11)
- Сформулируйте цель своей деятельности (Узнать, существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Если да, то какова эта связь.) - Предположите, существует связь между корнями и коэффициентами или нет? Какова она? (Выдвижение гипотез, учитель все принимает)
(Слайд 12)
- Если есть версии, нужно их проверить.
V. Открытие новых знаний (12 мин)
В уравнении х 2 + pх + q = 0 D>0. Найдите сумму и произведение корней. - Сейчас мы проведем небольшую исследовательскую работу. Работать будете в парах. Прочитайте задание на карточке. Вы должны заполнить таблицу, проанализировать ее, найти закономерность, и определить связь корней с коэффициентами, сделать вывод. 2
Каждая группа получает таблицу. Проверка выполнения заданий в группах и на доске, выводы
(Слайд 13)
Общий вывод: - Ваше предположение подтвердилось? (да)
-
Сделайте вывод (Связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения существует)
(Слайд 14)
-Какова она? (Сумма корней равна второму коэффициенту р взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену q). - Вывод: Утверждение верно для всех уравнений, имеющих корни
(Слайд15)
- Это утверждение называется теоремой Виета, названной в честь французского математика Франсуа Виета. - Послушайте небольшую историческую справку об этом математике. (Выступление ученика, сопровождающееся презентацией с портретом Виета)
Сообщение.
Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Занимаясь наукой, Виет пришел к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Иногда, увлекшись каким-нибудь исследованием, он проводил за письменным столом по трое суток подряд. - Какой же секрет открыла Фея Золушке (Теорему Виета)
(Слайд 16)
- Назовите тему урока. - Прочитаем теорему в учебнике (стр.127). - Запишите теорему в виде символов в тетрадь
(Слайд 17)
- В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных) -Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета). Что вы умеете делать с неприведенными квадратными уравнениями? - Запишите в виде символов в тетрадь
(Слайд 18)

-

Для

закрепления

теоремы

Виета

я

предлагаю

вам

послушать

стихотворение

«Теорема Виета».
По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а; 3 Уравнение х 2 +
р
х +
q
=0
p

q
Корни Сумма корней Произведение корней
х

2

+ 6х + 5 = 0
6 5 х 1 = -1, х 2 = -5 -6 5 х 2 – х – 12 = 0 -1 -12 х 1 = 4, х 2 = -3 1 -12 х 2 + 5х + 6 = 0 5 6 х 1 = -3, х 2 = -2 -5 6 -9х 1 = -1, х 2 = 98-9х 2 + 3х – 10 = 0 3 -10 х 1 = -5, х 2 = 2 -3 -10 -8
х

2

– 8х – 9
= 0
А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда – В числителе b, в знаменателе а. - Существует и теорема, обратная теореме Виета. Прочитайте ее в учебнике на стр. 128, а ее доказательство прочитаете дома. - Запишите теорему в тетрадь
(Слайд 19)

VI. Применение новых знаний (18 мин)

Задание №1 (5 мин)
- Теперь вы сможете также быстро, как Золушка, найти суммы и произведения корней 20 уравнений? (Да). - Что будете применять? (Теорему Виета). Сумму и произведение корней первых 10 уравнений находите, работая в паре, а оставшихся 10 решаете самостоятельно. №
x

2

+ pх + q = 0

x

1

+ x

2

x

1

· x

2
1. x 2 + 17x - 38 = 0 2. x 2 - 16x + 4 = 0 3. 3x 2 + 8x - 15 = 0 4. 7x 2 + 23x + 5 = 0 5. x 2 + 2x - 3 = 0 6. x 2 + 12x + 32 = 0 7. x 2 - 7x + 10 = 0 8. x 2 - 2x -3 = 0 9. - x 2 + 12x + 32 = 0 10. 2x 2 - 11x + 15 = 0 11. 3x 2 + 3x - 18 = 0 12. 2x 2 - 7x + 3 = 0 13. x 2 + 17x -18 = 0 14. x 2 -17x -18 = 0 15. x 2 -11x + 18 = 0 16. x 2 + 7x - 38 = 0 17. x 2 -9x + 18 = 0 18. x 2 - 13x + 36 = 0 19. x 2 - 15x +36 = 0 20. x 2 - 5x - 36 = 0 Эталон для самопроверки задания №1
1.

x

1

+ x

2

= -17; x

1

• x

2

= -38.

2.

x

1

+ x

2

= 16; x

1

• x

2

= 4

3. x

1

+ x

2

= -8/3 ; x

1

• x

2

= -5.

1.

x

1

+ x

2

= -23/7; x

1

• x

2

= 5/7.

2.

x

1

+ x

2

= - 2; x

1

• x

2

= -3.

3.

x

1

+ x

2

= -12; x

1

• x

2

= 32.

7. x

1

+ x

2

= 7; x

1

• x

2

= 10.

8. x

1

+ x

2

= 2; x

1

• x

2

= -3.

9. x

1

+ x

2

= 12; x

1

• x

2

= 32.

10. x

1

+ x

2

= 5,5; x

1

• x

2

= 7,5.

1.

x

1

+ x

2

= -1; x

1

• x

2

= -6.

2.

x

1

+ x

2

= 3,5; x

1

• x

2

= 1,5.

3.

x

1

+ x

2

= -17; x

1

• x

2

= -18.

4.

x

1

+ x

2

= 17; x

1

• x

2

= -18.

5.

x

1

+ x

2

= 11; x

1

• x

2

= 18.

6.

x

1

+ x

2

= -7; x

1

• x

2

= -38.

7.

x

1

+ x

2

= 9; x

1

• x

2

= 18.

8.

x

1

+ x

2

= 13; x

1

• x

2

= 36.
4

9.

x

1

+ x

2

= 15; x

1

• x

2

= 36.

10. x

1

+ x

2

= 5; x

1

• x

2

= -36.

Задание №2.
Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета(1 ученик на открытой доске с комментированием, остальные на закрытой доске) а) х 2 – 15х – 16 = 0; х 1 =16, х 2 = -1, б) х 2 – 9х + 20 = 0; х 1 = 5, х 2 = 4, в) х 2 + 11х – 12 = 0; х 1 =1, х 2 = -12, г) 3х 2 – 4х – 4 = 0; х 1 =2, х 2 = -2/3, д) х 2 – 2х – 9 = 0; х 1, 2 =2±¬40/2 или х 1, 2 =1±¬10
VII. Рефлексия (2 мин)

-
Сформулируйте теорему Виета. - Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. - Что побудило нас к открытию нового знания? (Поставленная проблема) - Вы открывали новое знание сами или учитель сам рассказал вам теорему Виета? - Заполните шкалы в соответствии с вопросами в листе самооценки: 1) я понял(а) тему урока 2) я сделал(а) открытие нового знания сам 3) мне было комфортно на уроке 4) я доволен(а) собой.
VIII. Домашнее задание (1 мин)
Теорема Виета, №580 (а-г), №581 (в, г) 5