МБОУ «Ленинская средняя общеобразовательная

школа»

Ленинского района Тульской области
Образовательная область - математика
Несколько способов решения

квадратных уравнений
Класс 8
Елена Анатольевна Кусачева, учитель

математики

п. Ленинский

2013г.


Тема урока:
«Несколько способов решения квадратных уравнений»
Тип урока:
комбинированный
Цель урока:
дать конкретные представления о решении квадратных уравнений и рассмотреть несколько новых способов решения этих уравнений.
Задачи урока:

образовательные
: систематизировать, обобщить и углубить знания, умения и навыки учащихся по теме решения квадратных уравнений, рассмотреть различные способы решения, провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
Воспитательные:
продолжить формирование научного мировоззрения учащихся, воспитывать умения организовывать свой учебный труд, соблюдать правила работы в коллективе.
Развивающие:
развивать познавательный интерес школьников, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным формам решения квадратных уравнений, сформировать у них положительный мотив учения.
Оборудование:
доска, компьютер, методические пособия.
Ход урока.

1.

Организационный момент.
Учитель приветствует учеников, фиксирует отсутствующих. Затем сообщает тему и цель урока. Учащиеся записывают тему урока в тетрадь.
2.

Введение.
Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Вы все умеете решать квадратные уравнения. В школьном курсе математики изучаются
формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберем подробно каждый способ. Повторим те способы, которые мы изучили и разберем новые.
3.

Повторение изученных способов решения квадратных уравнений.
На компьютере записано квадратное уравнение, предложенное на едином государственном экзамене. Каким из изученных способов решения можно быстро и рационально решить это уравнение?
63х

2

– 43х – 20 = 0.
Повторим эти способы. 
Способ разложения на множители:
Решим уравнение х 2 +10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: X 2 +10х – 24 = х 2 +12х – 2х – 24 =x(x + 12) – 2 (x +12) = (x + 12)(x – 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (x +12)(x – 2) = 0. Левая часть уравнения обращается в нуль при x = 2, а также при x = -12. Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x 2 + 10x – 24 = 0. Ответ: -12; 2. 
Метод выделения полного квадрата:
Решим уравнениех 2 + 6х – 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат, для этого прибавим к ней и вычтем 3 2 , получаем Х 2 + 6х + 3 2 – 3 2 – 7 = 0, (х +3) 2 – 16 = 0, таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, Х + 3 = 4, х = 1, или х + 3 = -4, х = -7. Ответ: -7; 1.

Графический способ решения:
Решим уравнение х 2 – 3х – 4 = 0. Рассмотрим функцию у = х 2 – 3х – 4, квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы. х 0 =-b/2а, х 0 =1,5. у 0 =1,5 2 – 4,5 – 4 = -6,25, (1,5; -6,25) – координаты вершины параболы. х -1 0 1 1,5 2 3 4 у 0 -4 -6 -6,25 -6 -4 0 у -1 0 4 Х Точки пересечения с осью Х и являются решением данного уравнения. Ответ: -1; 4.

Решение квадратных уравнений по формулам:
Решим уравнение 4х 2 + 7х +3 = 0, а=4, b=7, c=3, D = b 2 - 4ac = 49-48=1, 1>0 уравнение имеет 2 различных действительных корня. х 1 =-1, х 2 =-0,75. Ответ:-1; -0,75 Решим уравнение 4х 2 – 4х +1 = 0, a= 4, b=-4, c=1, D = b 2 – 4ac = 16 – 16 = 0, D=0, уравнение имеет один корень. х = 0,5. Ответ:0,5. Решим уравнение 3х 2 -14х + 16 = 0. a=3, b=-14- четное число, с=16, D/4= (b/2) 2 – ac = 49 – 48 = 1, 1>0, уравнение имеет два различных действительных корня . х 1 =2, х 2 =8/3. Ответ:2; 8/3. 
Решение уравнений с использованием формул Виета.
Решим уравнение x 2 + 4x – 5 = 0. Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид х 1 + х 2 = -4, х 1 х 2 = -5. Отсюда можно сделать следующие выводы: х 1 = -5, х 2 = 1. Ответ: -5; 1.
4.

Рассмотрение новых способов решения.

Всеми этими способами можно решить уравнение, предложенное в начале урока, но будет сложно и долго. Рассмотрим еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые в школьной программе не изучаются, но с помощью, которых быстро и рационально можно решить, например, данное уравнение. 
Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

ax

2

+ bx + c = 0,
если
а + b + с = 0, то х

1

= 1, х

2

= с/а
и если
а - b +с = 0, то х

1

= -1, х

2

= -с/а.
Решим данное уравнение, пользуясь этим свойством. 63х 2 – 43х – 20 = 0, 63 + (-43) + (-20) = 0, то х 1 = 1, х 2 = -20/63. Ответ: -20/63; 1. Чтобы закрепить это свойство, решим следующие уравнения: а) 5х 2 - 7х + 2 = 0; б) 3х 2 + 5х – 8 = 0; в) 11х 2 + 25х – 36 = 0; г) 11х 2 + 27х + 16 = 0; д) 839х 2 – 448х – 391 = 0. 
Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, где а ≠0. Умножая его обе части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + аc = 0, равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 находим с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.
При этом способе, коэффициент
а
умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют
способом

«переброски».
Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, получим уравнение: У 2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5, у 2 = 6. Далее х 1 = 5/2 =2,5; х 2 = 6/2 = 3. Ответ: 2,5; 3. Решите уравнения, используя метод «переброски»: а) 23х 2 + 12х – 35 = 0, б) 2х 2 – 9х + 9 = 0, в) 3х 2 + х – 4 = 0, г) 4х 2 + 12х + 5 = 0, д) 6х 2 + 5х – 6 = 0.
5. Итог занятия.
Подвести итог занятия. Какие способы изучили на уроках, и какие рассмотрели на сегодняшнем занятии? Являются ли они быстрыми и рациональными способами решения? Теперь и на уроках при решении квадратных уравнений можно применять эти способы решения. Спасибо за урок.