Интеграл в задачах профессиональной направленности. Полноценное осуществление профессиональной направленности обучения возможно только при тесном сотрудничестве преподавателей математики, специальных дисциплин и мастеров производственного обучения. Им предстоит найти подходящий учебный материал и соответствующую методику для того, чтобы изучаемые в курсе математики теоремы, функциональные зависимости, формулы, правила сопровождались конкретными примерами их применения в будущей профессиональной деятельности, предлагать для решения задачи с профессиональной направленностью и в то же время в ходе профессиональной подготовки раскрывать законы, принципы и положения в науке, лежащие в основе изучаемой техники, технологии производства и профессиональных навыков и умений. При этом необходимо учитывать возможность взаимосвязи принципа профессиональной направленности и проблемности как условия развития способностей обучающихся к техническому творчеству и самореализации. Возможные формы работы по осуществлению профессиональной направленности обучения в учреждениях начального профессионального образования: 1) составление и решение задач с профессиональной направленностью; 2) иллюстрация математических понятий и предложений примерами, взятыми из содержания профессиональных дисциплин; 3) использование имеющихся у учащихся знаний по специальностям для изучения нового, систематизации, обобщения и повторения материалов по математике; 4) использование на уроках математики учебно-наглядных пособий, применяемых в специальных дисциплинах (таблиц, плакатов, инструментов, макетов, тренажёров и т.п.); 5) проведения лабораторно-практических работ, связанных с профессиональной деятельностью учащихся; 6) использование комплексных межпредметных заданий; 7) внеклассная работа с профессиональной направленностью. Начинать нужно с выделения профессионально значимого для конкретной профессии материала в курсе математики. Для согласования времени изучения разделов, между которыми существуют межпредметные связи, целесообразно провести предварительную классификацию их по временному признаку. В одних случаях при изучении нового материала используется уже изученный материал другой дисциплины и разделы математики, изученные в школе(так называемые ретроспективные связи). В других случаях связываются одновременно или почти одновременно изучаемые понятия, темы, разделы разных дисциплин (так называемые сопутствующие связи).
В третьих случаях на урок математики привлекается материал другой дисциплины, который будет изучаться в последующий период обучения (так называемые перспективные связи). Остановимся подробнее на составлении и применении различных видов заданий с профессиональной направленностью. Задания с профессиональной направленностью могут быть составлены различными способами, причем профессиональный смысл может быть заложен в самом тексте учебной задачи или показан с помощью рисунка, чертежа, схемы, инструмента и т.д. Задания с профессиональной направленностью создаются на основе профессионально значимых знаний и умений по математике. Для применения заданий с профессиональной направленностью важно правильно выбрать их место в структуре урока. Использование таких заданий возможно на любом этапе урока, но чаще всего эти материалы применяются на этапе закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Интегрирование

функций
Вычисление пути, пройденного точкой. Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с п е р е м е н н о й с к о р о с т ь ю ν = f ( t ) > 0 за промежуток времени от t 1 до t 2 вычисляется по формуле S = ∫ t 1 t 2 f ( t ) dt ( 1 ) 1. Скорость движения точки изменяется по закону υ = ( 6 t 2 + 4 ) м/c. Найти путь, пройденный точкой за 5с от начала движения. Решение: Согласно условию f (t) = 6 t 2 + 4, t 1 = 0, t 2 = 5 . По формуле (1) S= ∫ 0 5 ( 6 t 2 + 4 ) dt = 2 t 3 + 4 t ¿ 0 5 = 250 + 20 = 270 ( м ) . Ответ: 270 м. 2. Скорость движения точки выражается формулой ν = ( 2 t + 8 t − 2 ) м с . Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду. Решение:
S= 2 t + 8 t − 2 t ¿ ¿ ( ¿) dt =¿ ∫ 1 2 ¿ - 8 t ) ¿ 1 2 =(4-4)-(1-8) =7 (м). Ответ: 7м. 3. Скорость движения точки изменяется по закону 18 t ν =¿ – 3 t 2 ) м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. Решение: Скорость точки равна нулю в момент остановки. Выясним в какой момент точка остановится, для этого решим уравнение 18 t - 3 t 2 = 0 t 1 = 0, t 2 = 6 Теперь по формуле (1) находим: 9 t 2 − t 3 ( 18 t − 3 t 2 ) dt =(¿)¿ 0 6 s = ∫ 0 6 ¿ =324-216=108 (м) Ответ: 108 м. 4 . Два тела начали двигаться по прямой, одновременно из одной точки в одном направлении. Первое тело движется со скоростью v = (6 t 2 +10) м/с, второе – со скоростью v = 3 t 2 м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с. Решение: Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 10с. ( ¿ 6 t 2 + 10 ) dt = ( 2 t 3 + 10 t ) ¿ 0 10 = 2∙ 1 0 3 + 10 2 S 1 = ∫ 0 10 ¿ =2100 (м) S 2 = ∫ 0 10 3 t 2 dt = t 3 ¿ 0 10 = 10 3 = 1000 ( м ) S = S 1 − S 2
S = 2100 − 1000 = 1100 ( м ) Ответ: 1100 м. 5. Для расчета мелиоративных машин, а также процесса дождевания важное значение имеют закономерности впитывания воды в почву. Скорость впитывания воды в почву (первые 2-3 часа) изменяется по закону: v ( t ) = v 1 t α . Г д е v – скорость впитывания в конце первой минуты (см/мин); α – коэффициент затухания скорости, зависящей от свойств почв для большинства почв 0,3<α<0,8. Определите толщину слоя воды S, который впитывается в почву за t минут. Решить для v 1 = 1 см/мин, α=0,5, T=4мин. Решение: S (T)= ∫ 0 T v 1 t α dt = v 1 ∫ 0 T t − α dt = v 1 t 1 − α 1 − α ¿ 0 T = v 1 T ( 1 − α ) T α S (4) = 4 ( 1 − 0.5 ) ∙ √ 4 = 4 1 2 ∙ 2 = 4 (см) Ответ: 4 см. 6 * Решить в общем виде. При вращении высевающей катушки зерновой сеялки возникает поток семян, состоящий из семян, попавших в желобки катушки, и семян, располагающихся между катушкой и дном коробки. Скорость движения семян в активном слое непостоянна по толщине слоя. Она измеряется по закону: V ( x ) = V 0 ( 1 − x c ) k Где: V 0 – линейная скорость края катушки с – ширина активного строя k – константа, зависящая от высеваемой культуры для пшеницы k = 2,6, для льна k = 1,7. При конструировании сеялки необходимо рассчитывать массу семян, выбрасываемых не только из желобков катушки, но и из активного слоя по формуле: m = ρl V 0 ∫ 0 c ( 1 − x c ) k dx
Где: ρ – удельный вес семян, l – длина катушки. Определить массу? Решение: Найдем ∫ 0 c ( 1 − x c ) k dx = − c k + 1 ( 1 − x c ) k + 1 ¿ 0 с =¿ − ( c k + 1 ( 1 − 1 ) K + 1 − c k + 1 ( 1 − 0 ) K + 1 ) =− ( 0 − c k + 1 ) = c k + 1 m = ρlc V 0 k + 1 Ответ: m = ρlc V 0 k + 1 7. Нож (коса) сенокосилки совершает возвратно – поступательное движение, приходя туда и обратно некоторое расстояние S, называемое ходом ножа. За это время сама косилка передвигается на некоторое расстояние 2L (величина L называется подачей), и один сегмент (зуб) ножа скашивает траву с участка поля, изображенного на рисунке. Площадь F этого участка называется площадью подачи косилки. Найдите F, если известно, что уравнение верхней границы участка имеет вид y = S 2 ( 1 − cos πx L ) . При L = 100 мм, S = 76,2 мм. Решение: F = S 2 ∫ 0 2 L ( 1 − cos πx 2 ) dx = LS Т. к. ∫ 0 2 L ( 1 − cos πx 2 ) dx = ( x − L n sin πx 2 ) ¿ 0 2L = 2 L − L n sin 2 ln 2 − 0 + L n sin 0 = 2 L − L n ∙ 0 + 0 = 2 L
F = S 2 ∙ 2 L = LS F=100∙76,2=7620мм. Ответ: 7620мм. Вычисление работы и давления. Работа переменной силы X=f(x), действующей в направлении оси Ox на отрезке [ x 0 , x 1 ¿ , вычисляется по формуле. А= ∫ x 0 x 1 f ( x ) dx . Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно её площади S, умноженной на глубину погружения h , на плотность p и ускорение силы тяжести g , т.е. P=pghS 1. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4см, если известно, что от нагрузки в 1 H она растягивается на 1 см? Решение: Согласно закону Гука, сила X H , растягивающая пружину на x м, равна X=kx. Коэффициент пропорциональности k найдём из условия: если x=0,01 м, то x=1 Н; следовательно, k=1/0,01 =100 и Х=100х. Тогда А= ∫ 0 0.04 100 x dx = 50 x 2 ¿ 0 0,04 = 0,08 Дж. Ответ: 0,08 Дж.