Учитель математики

Кондрашкина Н.В.

1 категория

Применение основных тригонометрических формул к преобразованию

выражений (10-й класс)

Цели:

1.

Повторить основные формулы тригонометрии и закрепить их знания в ходе

выполнения упражнений;

2.

Развивать навыки самоконтроля.

3.

Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и

настойчивости для достижения конечных результатов.

Ожидаемый результат:

1.

Каждый ученик должен знать формулы тригонометрии и уметь применять их

для преобразования тригонометрических выражений на уровне обязательных

результатов.

2.

Знать вывод этих формул и уметь применять их для преобразования

тригонометрических выражений.

3.

Знать формулы тригонометрии, уметь выводить эти формулы и применять их

для более сложных тригонометрических выражений.

Основные этапы урока:

1.

Сообщение темы, цели, задач урока.

2.

Устный счёт

3.

Проверка знаний формул

4.

Применение тригонометрических формул к преобразованию выражений

5.

Подведение итогов урока

6.

Постановка задания на дом

Ход урока

I . Вводная часть. 5 мин.

Учитель. Сегодня у нас обобщающий урок по теме: «Преобразование

тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических функций». На уроке

вы должны показать свои знания теории поданной теме, т. е. знание определений,

формул, а также умение применять эти знания при решении задач.

II. Устная работа (задания заранее распечатаны у каждого учащегося):

1. Радианная мера двух углов треугольника равна

и

. Найдите градусную меру

каждого из углов треугольника. Ответ: 60 , 30 , 90

2. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как

2:3:4. Ответ:

,

,

3. Может ли косинус быть равным: а)

, б)

, в)

, г)

, д)

-2 ? Ответ: а) да;

б) нет; в) нет; г) да; д) да.

4. Может ли синус быть равным: а) –3, 7 б)

, в)

? Ответ: а) нет; б) да; в) нет.

III.Проверка знаний формул. 5 мин.

Проверка знаний формул. На карточке в левом столбике написана часть формулы, а в

правом столбике вразброс вторая часть формул. Нужно соединить части так, чтобы

получилась верная формула. Далее заполните табличку ответов. Для первого

варианта вы получите зашифрованное слово – имя ученого, который в 15 веке

применял для понятия «косинус» термин «дополнительный синус», т.е. синус

дополнительной дуги. «Sinus compltmtnty».От перестановки этих слов и

сокращения одного из них и получилось слово «косинус». Для второго варианта -

имя ученого, который в 14 веке пере открыл заново для Европы понятия тангенса и

котангенса.

Вариант №2

Проверка формул

Ф.и.

sin(α+β)

2 sin

cos

а

tq(α+β)

sinαcosβ+ sinβcosα

б

sinα+ sinβ

2 cos

cos

а

sin2α

cosαcosβ+sinαsinβ

в

cos(α-β)

2sinαcosα

д

cosα+ cosβ

-2 sin

sin

и

cos

2

д

tq2α

н

cosα- cosβ

р

1+ tg

2

α

р

слово

б

р

а

д

в

а

р

д

и

н

Вариант №1

Проверка формул

Ф.и.

tq2α

а

cosα- cosβ

2 cos

cos

г

cosα+ cosβ

-2 sin

sin

е

cos(α+β)

cosαcosβ-sinαsinβ

и

sinα- sinβ

cos

2

α-sin

2

α

м

cos2α

н

tq(α-β)

2 sin

cos

о

sin

2

cos

2

α

н

sin(α-β)

о

1+ ctg

2

α

р

1-sin

2

α

sinαcosβ-sinβcosα

т

слово

р

е

г

и

о

м о

н

т а

н

Итак, ответ для первого варианта: немецкий ученый Региомонтан, который в 1467 г.

Написал труд «Пять книг о треугольниках всех видов», явившейся полным

собранием сочинений всех известных в Европе того времени сведений по

тригонометрии. Для второго варианта ответ: английский ученый Томас Брадвардин,

который в 14веке заново пере открыл тангенс и котангенс. Это связано с тем, что

понятие тангенса возникло в связи с решением практической задачи об определении

длины тени. Впервые применил это понятие в 8-9 веке среднеазиатский астроном

и математик ал-Хабаш, который и составил таблицу тангенсов.

Давайте запишем эти фамилии в тетрадь.

Региомонтан- нем. ученый, 15 в.ввел понятие косинуса как дополнительного синуса.

Томас Брадвардин -анг. Ученый, 14 в. –пере открыл тангенс и котангенс.

Термин«синус» ввел в 4-5 вв. индийский ученый Ариабхата, оно обозначалось

словом«джива» -половина хорды. Арабские ученые перевели его как «джайб»

-выпуклость, а европейские ученые перевели на латынь как «синус» - изгиб,

кривизна.

IV. Проверка умений и навыков по теме. 8 мин.

1.

Докажите тождество:











4

2

cos

6

cos

2

sin

6

sin

tg







Решение: преобразуем левую часть по формуле сумм тригонометрических

функций в произведение

sinα+ sinβ=2 sin

cos

;

cosα+ cosβ=2 cos

cos

;







cos

sin



tg































4

4

cos

4

sin

2

cos

4

cos

2

2

cos

4

sin

2

2

2

6

cos

2

2

6

cos

2

2

2

6

cos

2

2

6

sin

2

tg



















4

4

tg

tg



Тождество доказано.

2.

Докажите тождество:

(sin t – cos t)

2

= 1 – sin 2 t

Решение: преобразуем левую часть по формуле квадрат разности sin

2

t

– 2

sin

t

cos

t

+ cos

2

t

sin

2

t – 2 sin t cos t + cos

2

t

основная тригонометрическая формула sin

2

t

+ cos

2

t

= 1;

sin

2

t – 2 sin t cos t + cos

2

t = 1-2 sin t cos t

формула двойного аргумента : 2 sin

t

cos

t

= sin 2 t

1-2 sin t cos t =1- sin 2 t

1- sin 2 t = 1- sin 2 t Тождество доказано.

3. Упростите выражение:





ctg

tg



2

=

Применим формулы для тангенса и котангенса:







cos

sin



tg

и







sin

cos



ctg

=









sin

cos

cos

sin

2



=

Приведем дроби к общему знаменателю

=









sin

cos

cos

sin

2

2

2



=

Применим основную тригонометрическую формулу sin

2

t

+ cos

2

t

= 1;

=





sin

cos

1

2

= 2





sin

cos

=

Применим формулу двойного угла 2





sin

cos

=



2

sin

=



2

sin





ctg

tg



2

=



2

sin

1.

Докажите тождество:











4

2

cos

6

cos

2

sin

6

sin

tg







Решение: преобразуем левую часть по формуле сумм тригонометрических

функций в произведение

sinα+ sinβ=2 sin

cos

;

cosα+ cosβ=2 cos

cos

;







cos

sin



tg































4

4

cos

4

sin

2

cos

4

cos

2

2

cos

4

sin

2

2

2

6

cos

2

2

6

cos

2

2

2

6

cos

2

2

6

sin

2

tg



















4

4

tg

tg



Тождество доказано.

2. Докажите тождество:

(sin t – cos t)

2

= 1 – sin 2 t

Решение: преобразуем левую часть по формуле квадрат разности sin

2

t

– 2

sin

t

cos

t

+ cos

2

t

sin

2

t – 2 sin t cos t + cos

2

t

основная тригонометрическая формула sin

2

t

+ cos

2

t

= 1;

sin

2

t – 2 sin t cos t + cos

2

t = 1-2 sin t cos t

формула двойного аргумента : 2 sin

t

cos

t

= sin 2 t

1-2 sin t cos t =1- sin 2 t

1- sin 2 t = 1- sin 2 t Тождество доказано.

3. Упростите выражение:





ctg

tg



2

=

Применим формулы для тангенса и котангенса:







cos

sin



tg

и







sin

cos



ctg

=









sin

cos

cos

sin

2



=

Приведем дроби к общему знаменателю

=









sin

cos

cos

sin

2

2

2



=

Применим основную тригонометрическую формулу sin

2

t

+ cos

2

t

= 1;

=





sin

cos

1

2

= 2





sin

cos

=

Применим формулу двойного угла 2





sin

cos

=



2

sin

=



2

sin





ctg

tg



2

=



2

sin